2020中考数学考点突破专项复习-1.中点问题五大模型

第四单元三角形模型1多个中点出现或平行＋中点(中点在平行线上)时，常考虑或构造三角形中位线在几何图形中，若已知中点或中线时，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，DE＝BC，△ADE∽△ABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题．121.(2018宁波)如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE，若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为()A.50°B.40°C.30°D.20°第1题图【解析】∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°，∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，∴EO是△DBC的中位线，∴EO∥BC，∴∠1＝∠ACB＝40°.B2.如图，M是△ABC边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是()A.12B.14C.16D.18B第2题图【解析】如解图，延长BN交AC于D，∵AN平分∠BAC，∴∠NAB＝∠NAD，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND(ASA)，∴AD＝AB＝8，BN＝ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴DC＝2MN＝6，∴AC＝AD＋CD＝14.90NABNADANANANBAND∠∠∠∠第2题解图3.(2018恩施州)如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG＝2，则线段AE的长度为()A.6B.8C.10D.12第3题图D【解析】∵G为CD边中点，∴DG＝CG，在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠CEG，在△DAG和△CEG中，∴△DAG≌△CEG(AAS)，∴AD＝CE，AG＝GE，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝，即，解得EG＝6，∴AE＝2EG＝12.ADBEAFEF2122EGEG,DAGCEGAGDEGCDGCG模型2直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”直角三角形中，若遇到斜边上的中点时，常作斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD＝AD＝BD＝AB来解题．有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换．124.如图，∠ACB＝90°,D为AB的中点,连接DC并延长到E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若BF＝8，则AB的长为()A.6B.7C.8D.10A【解析】∵D为AB的中点，BF∥DE，∴DE是△ABF的中位线，∴DE＝BF＝×8＝4，∵CE＝CD，∴CD＝3，∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AB＝2CD＝6.121213第4题图135.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE，分别连接AF、CF，M为CF的中点，连接AM，则AM的长为()A.B.C.D.D第5题图2621142232【解析】如解图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°.∵EF⊥AE，EF＝AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF＝45°，∴∠CAF＝∠BAC＋∠EAF＝90°.∵AB＝BC＝2，∴AC＝.∵AE＝EF＝AB＋BE＝2＋1＝3，∴AF＝，CF＝..∵M为CF的中点，∴AM＝CF＝.222+2=22223+3=322222+=22+32=26ACAF（）（）12262第5题解图模型3等腰三角形中遇到底边上的中点时，常联想“三线合一”的性质等腰三角形中底边有中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，解决线段相等、平行问题及角度之间的数量关系．6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN的长度为()A.2B.C.D.D5213125第6题图【解析】如解图，连接AM，∵AB＝AC，点M为BC的中点，∴AM⊥CM，BM＝CM，∵BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得AM＝＝4，又∵S△AMC＝MN·AC＝AM·MC，∴MN＝.22ABBM1212125AMCMAC第6题解图7.如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝________．【解析】如解图，连接AE，∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠BAC＝50°，∴∠C＝(180°－50°)＝65°.12第7题解图第7题图65°模型4遇到三角形一边的垂线经过这条边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质8.如图，在周长为20的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为()A.10B.12C.14D.16A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴O是BD的中点．又∵OE⊥BD，∴OE为线段BD的垂直平分线，∴BE＝DE.又∵△ABE的周长＝AB＋AE＋BE，∴△ABE的周长＝AB＋AE＋DE＝AB＋AD.又∵ABCD的周长为20，∴AB＋AD＝10，∴△ABE的周长为10.第8题图9.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．求证：DC＝BE.第9题图证明：如解图，连接DE，∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE＝DC，∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝BE＝AB，∴DC＝BE.12第9题解图模型5中线等分三角形面积AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC．(因为△ABD与△ACD是等底同高的两个三角形)1210.(2017遵义)如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是()A.4.5B.5C.5.5D.6A【解析】根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△AEF＝S△ABE＝S△ABD＝S△ABC＝，同理S△AEG＝.∵点F、G是BE、CE的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴FG∥BC，FG＝BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△GEF＝S△BCE＝S△ABC＝，∴S△AFG＝S△AEF＋S△AEG＋S△EFG＝4.5.121214141818323232第10题图