2004届重庆市高三联合诊断性考试(第一次)数学(理科试卷)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。共150分,考试时间120分钟。第I卷(选择题,共60分)一、选择题:(本大题12个小题,每小题5分,共60分)1.如果A={x|x-1},那么正确的结论是()A.0AB.{0}∈AC.{0}AD.∈A2.给定两个向量)2()2(),1,(),2,1(babaxba与若平行,则x的值等于()A.1B.21C.2D.313.对函数baxxxf23)(作代换x=g(t),则总不改变f(x)值域的代换是()A.ttg21log)(B.ttg)21()(C.g(t)=(t-1)2D.g(t)=cost4.数列{an}是等差数列,S100,S110,则使an0的最小的n的值是()A.5B.6C.7D.85.将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移4个单位后,再作关于x轴的对称变换得到函数y=-cos2x的图象.则f(x)可以是()A.-2sinxB.2sinxC.-2cosxD.2cosx6.已知),0()21(),2(2122byaaaxb则x,y之间的大小关系是()A.xyB.xyC.x=yD.不能确定7.已知a、b为两个非零向量,有以下命题:①2a=2b,②a·b=2b,③|a|、=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要但不充分条件的命题是()A.②B.①③C.②③D.①②③8.已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是()A.2B.3C.4D.229.方程f(x,y)=0的曲线如图所示,那么方程f(2-x,y)=0的曲线是()10.抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,O是坐标原点,则OBOA等于()A.-43B.43C.-3D.311.已知命题p:函数)2(log25.0axxy的值域为R.命题q:函数xay)25(是减函数.若p或q为真命题,p且q为假命题,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a2C.1a2D.a≤1或a≥212.对某地农村家庭拥有电器情况抽样调查如下:有电视机的占60%;有洗衣机的占55%;有电冰箱的占45%;至少有上述三种电器中的两种及两种以上的占55%;三种都有的占20%.那么没有任何一种电器的家庭占的比例是()A.5%B.10%C.12%D.15%第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(本大题4个小题,每小题4分,共16分)13.△ABC中,若)cos(cos,5tantanCBACB则的值为.14.把点A(2,1)按向量a=(-2,3)平移到B,此时点B分向量OC(O为坐标原点)的比为-2,则C点的坐标为.15.当x=3时,不等式)10)(64(log)2(log2aaxxxaa且成立,则此不等式的解集是.16.奇函数f(x)的定义域为),,0()0,(值域为R,当且仅当x1时,f(x)0.关于f(x)有如下命题:①f(-1)=0;②方程f(x)=0有无穷解;③f(x)有最小值,但无最大值;④f(x)的图象关于原点对称,且f(x)是周期函数.其中正确命题的序号是.三、解答题:(本大题6个小题,共74分,必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.)17.(12分)已知函数.2321)3(,2)0(,cossincos2)(2ffxxbxaxf且(1)求f(x)的最大值与最小值;(2)若)tan(),()(,,求且ffZkk的值.18.(12分)(1)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a与b的夹角θ;(2)设OA=(2,5),OB=(3,1),OC=(6,3),在OC上是否存在点M,使MBMA,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.19.(12分)定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x3.(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;(2)若A={x|f(x)a,x∈R},且A,求实数a的取值范围.20.(12分)某集团准备兴办一所中学,投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班为单位)如下:班级学生数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元/人)初中602.0281.2高中402.5581.6根据有关规定,除书本费、办公费外,初中生每年可收取学费600元,高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜.根据以上情况,请你合理规划办学规模使年利润最大,最大利润多少万元?(利润=学费收入-年薪支出)21.(12分)椭圆C1:2222byax=1(ab0)的左右顶点分别为A、B.点P双曲线C2:2222byax=1在第一象限内的图象上一点,直线AP、BP与椭圆C1分别交于C、D点.若△ACD与△PCD的面积相等.(1)求P点的坐标;(2)能否使直线CD过椭圆C1的右焦点,若能,求出此时双曲线C2的离心率,若不能,请说明理由.22.(14分)已知}{),10(log)(naaaxxf,若数列{an}*)(42),(,),(),(),(,2321Nnnafafafafn使得成等差数列.(1)求{an}的通项an;(2)设),(nnnafab若{bn}的前n项和是Sn,且.312:,11224224anaSaann求证数学答案一、选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分)CBAB、DADA、CACD二、填空题:(本大题4个小题,每小题4分,共16分)13.32;14.(0,2);15.Rxxx,42|;16.①②三、解答题:(本大题6个小题,共74分)17.(12分)解:(1)由f(0)=2a=2,得a=1,2,4321)3(bbaf得…………(3分)∴f(x)=2cos2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1=1)42sin(2x…………(5分)∴f(x)的最大值是12,最小值是21.………………(6分)(2)∵)42sin()42sin(),()(ff.……(7分)∴)42(242)42(242kk或…………(9分)∴Zkkk,4)(或舍去………………(11分)∴1)4tan()tan(k.………………(12分)18.(12分)解:(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴.6134422bbaa…(12分)又|a|=4,|b|=3,∴a·b=-6.…………………………………………(4分).,21||||cosbaba………………………………………………(5分)∴θ=120°.………………………………………………………………(6分)(2)设存在点M,且)10)(3,6(OCOM).31,63(),35,62(MBMA,0)31)(35()63)(62(…………………………(8分)).511,522()1,2()10(,151131:,01148452OMOM或分或解得∴存在M(2,1)或)511,522(M满足题意.……………………(12分).19.(12分)解:∵f(x+2)=-f(x),x∈R,∴f(x)=-f(x-2).……………(1分)当x∈[1,3]时,x-2∈[-1,1],∴f(x)=-f(x-2)=-(x-2)3=(2-x)3.……(3分)又f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是以4为周期的函数.………………(4分)当x∈[3,5]时,x-4∈[-1,1],f(x)=f(x-4)=(x-4)3.………………(6分)]5,3[)4(]3,1[)2()(33xxxxxf…………………………………………(7分)(2)当],1,1[,)2()(,]3,1[3yxxfyx时当x∈[3,5]时,y=f(x)=(x-4)3,∴y∈[-1,1],∴f(x)在[1,5]上的值域为[-1,1].…………………………(9分)又f(x)是以4为周期的函数,∴当x∈R时,f(x)∈[-1,1]……(10分)∴当a1时,存在x使f(x)a,故a的取值范围为a1.………(12分)20.(12分)解:设初中x个班,高中y个班,则)2(12005828)1(3020yxyx……………(4分)设年利润为s,则yxyxyxs22.16.15.22.1215.04006.060……(6分)作出(1)、(2)表示的平面区域,如图,易知当直线1.2x+2y=s过点A时,s有最大值.由1200582830yxyx解得A(18,12).……(10分)6.45122182.1maxs(万元).即学校可规划初中18个班,高中12个班,可获最大年利润为45.6万元.……(12分)21.(12分)解:(1)设P(x0,y0)(x0a,y00),又有点A(-a,0),B(a,0).)6().3,2(.3),(2)4(,5)(14)(,)2().2,2(,,00022022022022022022000分舍去分又得点坐标代入椭圆方程将分的中点为baPbyaxaxaxaaxbyaxbyaaxCyaxCAPCSSPCDACD(2),300abaxyKKPBPD…………………………(7分))10()23,2(),2,2()(2)9(0321)(3:00222222分即舍去分直线baCyaxCaxaxaaxxbyaxaxabyPDDD∴CD垂直于x轴.若CD过椭圆C1的右焦点,则.27,23,222222abaecabbaa故可使CD过椭圆C1的右焦点,此时C2的离心率为27.…………(12分)22.(14分)解:设2,f(a1),f(a2),f(a3),……,f(an),2n+4的公差为d,则2n+4=2+(n+2-1)dd=2,…………………………(2分)22log222)11(2)(nannddnafnan.22nnaa……………………(4分)(2)222222)22(log)(nnannnnanaaafab,22264)22(264nnnananaaS)14(.312111)13(111)12(111)11()111(1212,0,112)10(.220,,012,0)1)(12(1210,112)8(],)1(111[121)22(2)1()1(2,1,)22(][24)1()22(2)22(6422222222424222422224242222424242224422264242222862分分分分又分解得故又分aaaaaaaaaanaSaaaaaaaaaaaaanaaaaaanaaaaSaanaaaSaanananaaSannnnnnnnnnnnnnnnnnn