08高考数学探索性问题

08高考数学探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为.2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？［例1］已知函数1)(2axcbxxf(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值21，且f(1)＞52.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f(x)是奇函数∴f(–x)=–f(x)，即1122axcbxaxcbx∴–bx+c=–bx–c∴c=0∴f(x)=12axbx由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0∴f(x)的最大值在x＞0时取得.∴x＞0时，22111)(babxxbaxf当且仅当bxxba1即ax1时，f(x)有最大值21212ba∴2ba=1,∴a=b2①又f(1)＞52，∴1ab＞52,∴5b＞2a+2②把①代入②得2b2–5b+2＜0解得21＜b＜2又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=12xx（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴020002001)2(21yxxyxx,消去y0，得x02–2x0–1=0解之，得x0=1±2,∴P点坐标为(42,21)或(42,21)进而相应Q点坐标为Q（42,21）或Q(42,21).过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为2p，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，由题意，有｜CA｜=｜CM｜∴2222)()(ypxxpyx,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,2p）是抛物线的焦点.∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为pxy2141联立方程组pyxpxy221412得.16179)171(41pypx.即C点坐标为(pp16179,4171).此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=p217.如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.一、选择题1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是()①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥βA.①与②B.①与③C.②与④D.③与④2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票()A.7张B.8张C.9张D.10张二、填空题3.(★★★★)观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=43,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式.三、解答题4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角.证明你的结论.5.（★★★★★）已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出12zz？请说明理由.6.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab,ab,a–b,a+b可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.7.（★★★★★）直线l过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.8.（★★★★★）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？参考答案●难点磁场1.解析：如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3.由平行四边形关系可得–a=3c+23b,∴a=–3c–23b.答案：a=–3c–23b2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：4222443342224)1(4)1(6C)1(C)1(CPPPPPPPPPP2引擎飞机为222212)1(2C)1(CPPPPPP.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2,解得P≥32.即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.●歼灭难点训练一、1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m.②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m.③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β.④l⊥m,不能推出α∥β.答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.答案：B二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=43.答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=43三、4.解：(1)当AB≤21AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB21AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点.连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角.同理，点C也是其中一点.5.解：∵|z1+z2|2=(z1+z2)(1z+2z)=|z1|2+|z2|2+(z12z+1zz2)∴c2=a2+b2+(z12z+1zz2)即：z12z+1zz2=c2–a2–b2∵z1≠0,z2≠0，∴z12z+1z·z2=12112221zzzzzzzz=|z2|2(21zz)+|z1|2(12zz)即有：b2(21zz)+a2(12zz)=z1z2+z1z2∴b2(21zz)+a2(12zz)=c2–a2–b2∴a2(12zz)2+(a2+b2–c2)(12zz)+b2=0这是关于12zz的一元二次方程，解此方程即得12zz的值.6.解：∵ab,a2,b2,∴ab,ab,a–b,a+b均为正数，且有aba+bab,aba+ba–b.假设存在一对实数a,b使ab,ab,a+b,a–b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b,a–b,ab,或②ab,a+b,ab,a–b由（a+b）2≠ab·ab所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有：22710257))(()()(2baababbababaabba解得经检验知这是使ab,a+b,a–b,ab成等比数列的惟一的一组值.因此当a=7+25,b=22710时，ab,a+b,a–b,ab成等比数列.7.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（2p，0）∈l.∴|FA|=|FB|,设A（x1,y1）,B(x2,y2),显然x10,x20,y1≠y2,于是有（x1–2p）2+y12=(x2–2p)2+y22,整理得：（x1+x2–p)(x1–x2)=y22–y12=–2p(x1–x2).显然x1≠x2(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得：x1+x2–p=–2p即x1+x2=–p0,这与x1+x20矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.8.解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.（1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）·A3，由A1+A2与A3相互独立，则P（A）=P（A1+A2）·P（A3）又P（A1+A2）=1–P（21AA）=1–P（1A·2A）由A1与A2相互独立知1A与2A相互独立，得：P（1A·2A）=P（1A）·P（2A）=［1–P（A1）］·［1–P（A2）］=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P(1A·2A)=1–0.06=0.94，∴P(A)=0.94×0.9=0.846.(2)按图乙的接法求P（A）：A=（A1+A3）·A2且A1+A3与A2相互独立，则P（A）=P（A1+A3）·P（A2），用另一种算法求P（A1+A3）.∵A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P（A1+A3）=P（A1）+P（A3）–P（A1A3），∵A1与A3相互独立，则P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7×0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776.(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,∵A2A1与A3A1彼此不互斥，据容斥原理，则P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）–P（A1A2A3），又由A1