06-07年上学期同步测控优化训练高三数学第三章单元检测B卷(附答案)

高三数学同步检测(十二)第三章单元检测(B)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知y=21sin2x+sinx+3,那么y′是（）A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数分析本题主要考查导函数的性质.解y′=(21sin2x)′+(sinx)′=21(cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx，∵f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),∴y′为偶函数.又由于y′=2cos2x-1+cosx=2cos2x+cosx-1,令t=cosx(-1≤t≤1),∴y′=2t2+t-1=2(t+41)2-89.∴y′max=2,y′min=-89.故选B.答案B2.函数y=ax3-x在（-∞,+∞)上是减函数，则（）A.a=31B.a=1C.a=2D.a0分析本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.解由y′=3ax2-1,当a=31时，y′=x2-1,如果x1,则y′0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a0时，y′=3ax2-1恒小于0，则原函数在（-∞,+∞)上是减函数.故选D答案D3.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则这样的切线有()A.1条B.2条C.多于2条D.不能确定分析本题主要考查导数的几何意义的应用.切线的条数是由切点的个数确定的.解f′(x)=3x2,由f′(x)=3x2=1,得x=±33.所以符合条件的切线有2条.答案B4.已知曲线y1=x2,y2=x3,y3=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则()A.k1k2k3B.k3k2k1C.k1k3k2D.k3k1k2分析本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.解∵y1′=2x,y2′=3x2,y3′=2cosx,∴y1′|x=1=2,y2′|x=1=3,y3′|x=1=2cos1.∴k3k1k2.答案D5.★曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线与x轴、直线x=3所围成的三角形的面积为()A.13B.14C.9D.10分析本题考查导数的相关知识及三角形的面积公式.解∵y=x2+1,∴y′=2x.∴y′|x=1=2,切线的方程为y-2=2(x-1),与x轴的交点(0,0)所围成的三角形的面积S=21(3-0)×6=9.答案C6.★设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2006(x)等于()A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx分析本题考查导数的运算及函数的周期性.解f1(x)=(cosx)′=-sinx,f2(x)=(-sinx)′=-cosx,f3(x)=(-cosx)′=sinx,f4(x)=(sinx)′=cosx,f4(x)=f0(x),f5(x)=f1(x),…,fn+4(x)=f(x),可知该函数的周期为4.∴f2006(x)=f2(x)=-cosx.答案D7.★已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是()A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)分析本题考查导数与极值的关系.解f′(x)=3x2+2mx+(m+6).∵函数f(x)既存在极大值又存在极小值,∴函数f′(x)=3x2+2mx+(m+6)的图象与x轴相交,即4m2-4×3×(m+6)0.解得m-3或m6.∴实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞).答案B8.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)0,f′(x)0,那么函数y=xf(x)()A.存在极大值B.存在极小值C.是增函数D.是减函数分析本题考查导数的应用.解∵y=xf(x),∴y′=(x)′f(x)+xf′(x)=f(x)+xf′(x).又∵x0,f(x)0,f′(x)0,∴y′=f(x)+xf′(x)0,即函数y=xf(x)在(0,+∞)上是增函数.答案C9.点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为()A.1B.2C.22D.3分析本题考查导数的几何意义及点到直线的距离公式.解∵y=x2-lnx,∴y′=2x-x1.令2x-x1=1,得x=1或x=-21(舍去).当x=1时,y=x2-lnx=1.此时点P(1,1)是到直线x-y-2=0距离最小的点.∴d=.22|211|答案B10.已知抛物线y2=2px(p0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为（）A.(0,0)B.(2p,p)C.(2p,2p)D.(32p,32p)分析本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p-x)2+(p-y)2=(p-py22)2+(p-y)2.所以(d2)′=2(p-py22)(-py)+2(p-y)(-1)=23py-2p.令(d2)′y=0,即23py-2p=0,解得y=p32.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得x=py22=pp2423=32p.所以点(32p,32p)为所求的点.答案D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.★曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,斜率最小的切线方程是.分析本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.解∵y=x3+3x2+6x-10,∴y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3.∴(y′)min=3.此时,x=-1,y=(-1)3+3×(-1)2+6×(-1)-10=-14.∴斜率最小的切线方程是y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.答案3x-y-11=012.函数y=sin2x的单调递减区间是.分析本题考查导数在三角问题上的应用解法一y′=2sinxcosx=sin2x.令y′0,即sin2x0，∴2kπ-π2x2kπ,k∈Z.∴kπ-2xkπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ-2,kπ),k∈Z.解法二y=sin2x=-21cos2x+21,函数的减区间即cos2x的增区间，由2kπ-π2x2kπ,k∈Z,得kπ-2xkπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是（kπ-2,kπ),k∈Z.答案(kπ-2,kπ),k∈Z13.点P在曲线y=x3-x+32上移动,设过点P的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是.分析本题主要考查导数的几何意义,以及直线的倾斜角与斜率之间的关系.解∵y′=3x2-1,即tanα=3x2-1,∴tanα∈［-1,+∞).∴α∈［0,2)∪［43,π).答案α∈［0,2)∪［43,π)14.★若函数f(x)=loga(x3-ax)(0a1)在区间(-21,0)内单调递增,则a的取值范围是.分析本题考查复合函数的导数及单调性.解令u=x3-ax,u′=3x2-a.∵0a1,若f(x)在(-21,0)内单调递增,必须u′0,即3x2-a0在(-21,0)内恒成立,a3x2,∴a≥43.综上,43≤a1.答案43≤a1三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气,那么t天后,氡气的剩余量为A(t)=500×0.834t.(1)氡气的散发速度是多少?(2)A′(7)的值是什么(精确到0.1)?它表示什么意义?分析本题考查常见函数的导数及导数的几何意义.解(1)氡气的散发速度就是剩留量函数的导数.∵A(t)=500×0.834t,∴A′(t)=500×0.834tln0.834.4分(2)A′(7)=500×0.8347ln0.834≈-25.5.它表示在第7天附近,氡气大约以25.5克/天的速度自然散发.8分16.(本小题满分8分)某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？分析本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如右图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为x512m，因此新墙总长度L=2x+x512(x0),2分L′=2-2512x.令L′=2-2512x=0,得x=16或x=-16.4分∵x0,∴x=16.5分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴x512=32.7分故当堆料场的宽为16m，长为32m时，可使砌墙所用的材料最省.8分[注]本题也可利用均值不等式求解.17.★(本小题满分8分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为p=24200-251x,且生产xt的成本为R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)分析本题主要考查利用导数求函数的最值.根据题意,列出函数关系式,求导求解.解每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200-251x)x-(50000+200x)=-351x+24000x-50000(x≥0).4分由f′(x)=-53x2+24000=0,解得x1=200,x2=-200(舍去).6分∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x1=200使f′(x)=0,∴它就是最大值点,f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).∴每月生产200t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.8分18.(本小题满分10分)已知曲线C1：y=x2与C2:y=-(x-2)2,若直线l与C1、C2都相切,求l的方程.分析本题主要考查导数几何意义的应用.要求具有某种性质的切线,只需求出对应的x0即可,一般要求出x0所需满足的方程或方程组,解之即可.解设直线l与C1相切于点(x1,x12),∵y=x2,∴y′=2x.∴1|xxy=2x1.2分∴l：y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.3分设直线l与C2相切于点(x2,-(x2-2)2),∵y=-(x-2)2,∴y′=-2(x-2).∴2|xxy=-2(x2-2).5分∴l：y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.6分比较l的两个方程,应有.4),2(22222121xxxx将x1=2-x2代入第二个方程,得-(2-x2)2=x22-4,解得x2=0或x2=2,于是x1=2或x1=0.8分当x1=2,x2=0时,直线l经过两点(2,4)、(0,-4),∴直线l的方程为y=4x-4;当x1=0,x2=2时,直线l经过(0,0)、(2,0)两点.∴直线l的方程为y=0.10分19.(本小题满分10分)已知A、B两地的距离是130km.按交通法规规定,A、B两地之间的公路车速应限制在50~100km/h.假设汽油的价格是4元/升,以xkm/h速度行驶时,汽车的耗油率为(3+3602x)L/h,司机每小时的工资是14元.那么最经济的车速是多少?如果不考虑其他费用,这次行车的总费用在什么范围内?分析本题考查常见函数的导数及利用导数知识解决实际问题的能力.解设这次行车的车速应为xkm/h,总费用为y元,则