06-07年上学期同步测控优化训练高三数学第三章单元检测A卷(附答案)

高三数学同步检测(十一)第三章单元检测(A)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.设函数f(x)在x=x0处可导,则hxfhxfh)()(lim000()A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0、h均无关解析本题考查导数的定义.在导数的定义式中,自变量增量可正、可负,但不为0.导数是一个局部概念,它只与函数在某一点及其附近的函数值有关,与自变量增量无关.答案B2.曲线y=f(x)在点(0,0)处的导数的值是-1,则过该点的切线一定()A.平行于Ox轴B.平行于Oy轴C.平分第一、三象限D.平分第二、四象限分析本题考查曲线的切线.曲线在某点处的导数,即为该点处切线的斜率.解因为f(x)在点(0,0)处的导数等于-1,即切线的斜率为-1.根据直线的点斜式方程,可得y-0=-1×(x-0),即y=-x.故它平分第二、四象限.答案D3.物体自由落体运动方程为s=s(t)=21gt2,g=9.8m/s2,若v=)/()1()1(lim0smgtstst,那么说法正确的是()A.9.8m/s是在0~1s这段时间内的速率B.9.8m/s是从1s到(1+Δt)s这段时间内的速率C.9.8m/s是物体在t=1s这一时刻的速率D.9.8m/s是物体从1s到(1+Δt)s这段时间内的平均速率分析本题考查导数的物理意义.s(t)在某一时刻的导数为在这一时刻的瞬时速度.解s′=tgtttgt22021)(21lim,)(lim)(2)()(2lim020gttggtttgtgttt∴s′|t=1=g×1=g=9.8(m/s).答案C4.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)0,则下列关系一定成立的是（）A.f(0)0B.f(1)0C.f(1)f(0)D.f(1)f(0)分析本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解因为f′(x)0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案C5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是（）分析本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(-∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案C6.一点沿直线运动,若由始点起经过ts后的路程是s=21t2+t1,则速度为0的时刻为s末.()A.0B.2C.3D.1分析本题主要考查导数的物理意义,即位移对时间的导数是瞬时速度.解s′=t-21t,令s′=t-21t=0,得t=1.答案D7.曲线y=x3-3x上切线平行于x轴的点为()A.(0,0),(1,3)B.(-1,2),(1,-2)C.(-1,-2),(1,2)D.(-1,3),(1,3)分析本题主要考查导数的应用.根据与x轴平行的直线的斜率为零,构造方程f′(x)=0解得x的值,进一步求出交点的坐标即可.解y′=3x2-3,令3x2-3=0,得x=±1.代入曲线方程得.2,12,1yxyx或答案B8.函数y=x3+x3在（0，+∞)上的最小值为（）A.4B.5C.3D.1分析本题主要考查应用导数求函数的最值.解y′=3x2-23x,令y′=3x2-23x=0,即x2-21x=0,解得x=±1.由于x0,所以x=1.在（0,+∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在（0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.答案A9.函数y=xlnx在区间（0，1）上是（）A.单调增函数B.单调减函数C.在（0，e1)上是减函数，在（e1,1)上是增函数D.在（0，e1)上是增函数，在（e1,1)上是减函数分析本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性解y′=lnx+1,当y′0时，解得xe1.又x∈(0,1),∴e1x1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′0且x∈(0,1),得0xe1,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案C10.若函数y=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A.0b1B.b1C.b0D.b21分析本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.∵函数在（0，1）内有极小值，∴极值点在（0，1）上.令y′=3x2-3b=0,得x2=b,显然b0,∴x=±b.又∵x∈(0,1),∴0b1.∴0b1.答案A第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.函数y=ex2的导数是.分析本题主要考查指数函数以及复合函数的导数.解设y=eμ,μ=x2,则yx′=yμ′·μx′=(eu)′·(x2)′=eμ·2x=2xex2.答案2xex2.12.有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是m2.分析本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数解设场地的长为xm，则宽为(8-x)m,有S=x(8-x)=-x2+8x,x∈(0,8).令S′=-2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点,∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案1613.★过原点作曲线y=2x的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.分析本题考查指数函数的导数及导数的几何意义.解∵y=2x,∴y′=2xln2.设切点坐标为(x0,02x),则过该切点的直线的斜率为02xln2,直线的方程为y-02x=02xln2(x-x0).∵直线过原点,∴0-02x=02xln2(0-x0).∴02x=x0·02xln2.∴x0=log2e,即切点坐标为(log2e,e),斜率为eln2.答案(log2e,e)eln2.14.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)0且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是.分析本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数φ(x)=f(x)g(x),利用φ(x)的性质解决问题.解设φ(x)=f(x)g(x),则φ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)0.∴φ(x)在(-∞,0)上是增函数且φ(-3)=0.又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴φ(x)=f(x)g(x)为奇函数.∴φ(x)在(0,+∞)上也是增函数且φ(3)=0.当x-3时,φ(x)φ(-3)=0,即f(x)g(x)0;当-3x0时,φ(x)φ(-3)=0,即f(x)g(x)0.同理,当0x3时,f(x)g(x)0;当x3时,f(x)g(x)0.∴f(x)g(x)0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).答案(-∞,-3)∪(0,3)三、解答题(本大题共5小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)过曲线y=x-ex上某点的切线平行于x轴,求这点的坐标及切线方程.分析利用导数的几何意义,先求切点,再求切线的方程.解∵y′=1-ex,2分又切线与x轴平行,∴切线的斜率k=0.3分∴令y′=1-ex=0,得x=0.5分∴切点坐标为(0,-1).6分∴切线方程为y=-1.8分16.★(本小题满分8分)已知导函数f′(x)的下列信息:当1x4时,f′(x)0;当x4或x1时,f′(x)0;当x=4或x=1时,f′(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状.分析本题考查函数的单调性、极值与导函数的关系.解当1x4时,f′(x)0,可知f(x)在此区间内单调递增;2分当x4或x1时,f′(x)0,可知f(x)在这两个区间内单调递减;4分当x=4或x=1时,f′(x)=0,是两个极值点.6分综上,函数f(x)的图象的大致形状如下图所示(注:图象不唯一,只要符合题设条件即可).8分17.(本小题满分8分)设f(x)在x=1处连续,且,21)(lim1xxfx求f′(1).分析本题考查抽象函数在某点处的导数.根据f(x)在某点连续的定义及导数的定义求解.解∵f(x)在x=1处连续,∴1limxf(x)=f(1).2分又1limxf(x)=1limx［(x-1)·1)(xxf］=1limx(x-1)·1limx1)(xxf=0·2=0.∴f(1)=0.5分根据导数的定义，得f′(1)=.2)1(lim)1()1(lim00xxfxfxfxx8分18.(本小题满分10分)设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根且f′(x)=2x+2,求f(x)的表达式.分析本题主要考查导数运算的逆运用.利用待定系数法设函数解析式,代入条件求解.解设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),2分∴f′(x)=2ax+b.3分由条件f′(x)=2x+2,得a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+c.5分∵方程f(x)=0有两个相等实根,∴Δ=4-4c=0,即c=1.8分∴函数解析式为f(x)=x2+2x+1.10分19.(本小题满分10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.分析本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.解(1)解方程组,32,33xxyxy得交点O、A的坐标分别为(0,0)、(1,1).2分f(t)=S△ABD+S△OBD=21|BD|·|1-0|=21|BD|=21(-2t3+3t-t3)=21(-3t3+3t),即f(t)=-23(t3-t)(0t1).4分(2)f′(t)=-29t2+23.6分令f′(t)=-29t2+23=0,得t=33,t=-33(舍去).当0t33时,f′(t)0,从而f(t)在区间(0,33)上是增函数;8分当33t1时,f′(t)0,从而f(t)在区间(33,1)上是减函数.所以当33时,f(t)有最大值f(33)=33.10分