高三数学试题(理科)

高三数学试题（理科）武汉市新洲区一中卢有勇2007.04.25.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：1.如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB.2.如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB.3.如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率1nkkknnPkCPP.4.球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径.5.球的体积公式343VR，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合1,21,1,MaaR,集合1,2,NbbR,则MN()A.1,2B.1,2C.2,1D.2.已知niim11，其中m、n是实数,i是虚数单位,则mni=（）A．12iB．12iC．2iD．2i3.函数()fx是R上周期为3的奇函数,若(1)1f,21(2)1afa,则（）A．112aa且B．10aC．10aa或D．12a4.已知函数322()fxxaxbxa在1x处取极值10,则ab()A.7B.0C.7或0D.7或05.设,,为两两不重合的平面，nm,为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,∥，则；②若∥,∥，则∥；③若,,anam∥∥；∥则nm④若,⊥，则∥．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46.以椭圆192522yx的长轴的两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线的斜率为()A．21B．34C．2D．437.把函数)sin(xy（其中是锐角）的图象按,08a平移或按3,08b平移都可以使对应的新函数成为奇函数，则的值可为（）A．1B．2C．3D．48.a、b为实数且2ba，若多项式函数()fx在区间,ab上的导函数()fx满足()0fx，则以下式子中一定成立的关系式是（）A．()()fafbB．1(1)()2fafbC．(1)(1)fafbD．3(1)()2fafb9.已知函数111121021()02021xxxxxfxbxax在点0x处连续,则ab()A.2B.1C.0D.310.设F1、F2分别为双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点,若212PFPF的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是()A.1,2B.1,3C.2,3D.3,)题号12345678910答案第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填写在答题卡的相应位置.11.设常数0a，421axx展开式中3x的系数为32，则2lim()nnaaa____.12.已知变量x、y满足222yxyxyx,则2223xy的取值范围是.13.已知某篮球选手投篮的命中率为23,且各次投篮间是相互独立的,令此选手投篮n次的命中率为na(na为进球个数与n之比),则事件“412a”发生的概率为.14.过点1,1作曲线3yx的切线,则切线方程为.15.正整数数列按下表排列:1251017…4361118…9871219…1615141320…2524232221…………………位于对角线位置的正整数1,3,7,13,21…构成数列na,则7a,通项公式na.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本大题满分12分）函数23()cos2sin22xfxaxbb0a,且当4x时取函数最小值22.(I)求a和b的值;(II)若为锐角,且22f,求的值.17.（本大题满分12分）如图正四棱柱1111ABCDABCD中,底面边长2AB,侧棱14BB,E为线段1CC上一点,且1ACBED平面.(I)求线段CE的长;(II)求二面角1BDBE的大小.18.（本大题满分12分）某次有奖竞猜活动中有A、B两组相互独立的问题,答对问题A可赢得奖金3千元,答对B可赢得奖金6千元,规定答题顺序可任选,但只有在一个问题答对后才能解答下一个问题,否则中止答题,已知甲同学答对问题A、B的概率分别为12和13.(I)若按先A后B的顺序答题,求甲同学获得奖金数的分布列和数学期望E;(II)该甲同学获奖金的期望值的大小与答题顺序有关吗?试证明你的结论.19.（本大题满分12分）P在以1F、2F为焦点的双曲线2222:1xyCab上的一点,已知120PFPF,且122PFPF.(I)求双曲线的离心率;(II)过点P作直线分别交双曲线的两渐进线于1P、2P两点,若12274OPOP,1220PPPP,求双曲线的方程.1D1C1B1AEDCBA20.（本大题满分13分）已知31()ln6fxxax(,aRa为常数),(I)当4a时,求()fx的单调区间;(II)设24()()gxfxx，是否存在实数a使得()gx在区间1,4上为单调函数,如果存在,求出a的取值范围;若不存在,试说明理由.21.（本大题满分14分）集合W是满足下列两个条件的无穷数列na的集合:①22nnnaaa,②,,naMnNM是与n无关的常数.(I)若na是等差数列,nS是其前n项和,且334,18aS,求证:nSW;(II)设数列nb的通项公式为52nnbn,且nbW,求M的取值范围;(III)设数列nc的各项均为正整数,且ncW,求证:1nncc.参考答案题号12345678910答案BCCABABBAB1.B.集合M是直线30xy上的点对应的向量，N是直线2yx上的点对应的向量，它们的交点对应的向量为1,2.2.C.(1)11,222mimmnin，则2,1mn.3.C.(1)(2)(2)1,fff故21101aaa或1a.4.A.(1)10f且(1)0f，得3,3ab(舍)；4,7ab.5.B.①②正确.6.A.2225,41205axycc,渐近线为12yx.7.B.按,08a移得sin()8yx为奇函数，则11()8kkZ；按3,08b移得3sin8yx为奇函数，则2238kkZ，则212kk，即2kkZ，又为锐角，则2.8.B.可知()fx在,ab上为减函数，而112aabb，故1(1)()2fafb.9.A.0lim()1xfx，0lim()xfxa，由()fx在点0x处连续得00lim()lim()(0)xxfxfxf得1ab.10.B.设1PFt,则tca,则22PFta,22221244PFtaataPFtt24248ataat,当且仅当2ta时取等号,21,3acae.11.1.展开式中第1r项为15842422144rrrrrrrTCaxxCax，58322rr,2243122Caa,2lim()11nnaaaaa.12.9,52.由不等式组可得201yxx，2223txy222192120122xxxx，则9,52t.13.827.由事件“412a”得投篮4次恰好投中2次,22241283327PC.14.320,3410xyxy.设切点为300,xx,则2003fxx,切线方程为320003yxxxx,又过点1,1,32000131xxx,2001210xx,则01x或012x,即可得切线方程.15.43;21nn.由题意知12nnaan,由迭代易得通项公式.16.解（I）1cos()sin22xfxaxbb,22()sincossin()fxaxbxabx,其中2222cos,sinababab，2)2(xkkZ时()fx取最小值,当4x时，32()4kkZtan1,1ba,即ba,()sincos2sin()4fxaxaxax，又,min224x，2,2ab.（II）()22sin()4fxx,(2)22sin224f，2sin(2)42，又02，52444，3244，即4.17.法一（I）1111ABCDABCD为正四棱柱,11AB面1BC,又1AC面BDE,1ACBE，1BCBE,1BCCEBBBC，1CE.（II）由图知二面角1BDBE为二面角EDBC的余角,设ACBD、交于点O，则COBD,又EC面AC，EOBD，EOC为二面角EDBC的平面角，又12222CO，1CE,2tan2ECEOCOC,EOC的余角为arctan2,二面角1BDBE为arctan2.法二（I）如图建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(2,0,4),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,0)DABCA，设(0,2,)Eb，1AC面EDB，1ACBE又1(2,2,4)AC，(2,0,)BEb，则10ACBE440b1b即1CE.（II）面DEB的法向量为11(2,2,4)nAC，面1BDB的法向量为2(2,2,0)nAC,12443cos,32622nn,二面角1BDBE为arccos33.18.解：（I）按先A后B的顺序答题获得的奖金数的取值为0，3，9千元，11111111(0)1,(3)(1),(9)22233236PPP,的分布列为:039P1213161110392.5236E.（II）按先B后A的顺序答题获得的奖金数的取值为0，6，9千元，12111111(0)1,(6)(1),(9)33326326PPP,2110692.5366E,EE，故该同学获奖金的期望值与答题顺序无关.19.解：（I）212PFPF，又212PFPFa,212,4PFaPFa,又210PFPF，21PFPF，则222(4)(2)(2)aac,2222555ccaea.（II）225ca，2225aab，224ba,故可设双曲线的方程为222214xyaa，双曲线的渐近线为2yx，1D1C1B1AEDCBAxyz12PFa，设00(,)pxy，则202aeaxc,则0034,55xaya,依对称性不妨设点11122234(,),(,2),(,2)55aaPPxxPxx,由12274OPOP得12121227944