高三数学期中考试试卷

2007学年度（上）新中高级中学期中考试高三数学试卷(满分150分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.方程07369xx的解是；2.方程Rxxx0cos21sin的解集为；。3.已知集合2230,AxxxxR，22240,BxxmxmxR，且0,3AB，则实数m的值是__________；4.若542sin，且0sin，则所在的象限是____________；5.已知正数数列1,4,,21aa是等差数列,正数数列4,,,,1321bbb是等比数列,则221baa的值为__________；6.不等式1log1121x的解集是__________；7.数列na中，372,1aa，又数列11na是等差数列，则11a=__________8.设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝；9．数列}{na满足112(0),2121(1).2nnnnnaaaaa且167a,则20a10．上的是和Rxgxf奇函数，且0)(xf的解集为)1,3(，0)(xg的解集为)2,4(则0)(xgxf的解集为_____________；11.（文）对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如3，1.082，不等式0322xx的解集是___________；（理）给出定义：若1122mxm（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{}x，即{}xm.在此基础上给出下列关于函数|}{|)(xxxf的四个命题：①函数)(xfy的定义域是R，值域是[0，21]；②函数)(xfy的图像关于直线2kx(k∈Z)对称；③函数)(xfy是周期函数，最小正周期是1；④函数()yfx在21,21上是增函数；其中真命题是___________；二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.12．集合P={(x，y)|y=k}，Q={(x，y)|y=ax+1，a0且1a}，已知P∩Q只有一个子集，则实数k的取值范围是（A）(－∞，1)（B）(－∞，1]（C）(1，+∞)（D）(－∞，+∞)（）13.等比数列na中,若3,184SS,则20191817aaaa的值为（）（A）14（B）16（C）18（D）20（）14.设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的三条边，且,5,4cbaBABAtantan33tantan，则△ABC的面积为（A）23(B)33(C)323(D)23()15（文）对一切实数x，不等式2||10xax恒成立，则实数a的取值范围是A、(,2]B、[2,)C、[2,2]D[0,)（）（理）若不等式[(1)]lg0anaa对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（A）{1}aa（B）1{0}2aa（C）1{01}2aaa或（D）1{01}3aaa或（）三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分14分）已知集合A＝{|(2)[(31)]0}xxxa，B＝22{|0}(1)xaxxa．⑴当a＝2时，求AB；⑵求使BA的实数a的取值范围．17.(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?18.(本题满分14分)设关于x的函数)12(cos2cos2)(2axaxxfy的最小值为)(ag.⑴写出)(ag的表达式；⑵试确定能使21)(ag的a值，并求出此时函数y的最大值．19.(本题满分16分)已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足①x＞1时，f（x）＜0；②f（21）=1；③对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），（1）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）求f（1），f（2）的值；（3）求不等式f（x）+f（5－x）≥－2的解集；20.(本题满分16分)已知函数)0()1(log)(22xxxf，)(,)(Raaxxg。（1）试求函数)(xf的反函数)(1xf；（2）（文）函数)()()(1xgxfxh，求)(xh的定义域，判断函数)(xh的增减性;（理）函数)()()(1xgxfxh，求)(xh的定义域，判断并证明函数)(xh的增减性；（3）（文）若（2）中函数)(xh的最小值为3，试求a的值。（理）若（2）中函数)(xh，有2)(xh在定义域内恒成立，求a的范围。21.(本题满分18分)已知)(241)(Rxxfx（1）求)1()(xfxf的值；（2）若数列na的通项公式为)100,2,1)(100(nnfan，求数列na的前100项和100S；（3）若数列na的通项公式为),2,1,)((mnNmmnfan，且数列na的前m项的和为mS，又nb数列：311b，nnnbbb21；且11111121nnbbbT若mS满足对任意不小于2的正整数n；都有nmTS恒成立，试求m的最大值。2007学年度（上）新中高级中学期中考试高三数学试卷（参考答案）(满分150分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.方程07369xx的解是x=0；2.方程Rxxx0cos21sin的解集为Zkkxx,21arctan；3.已知集合2230,AxxxxR，22240,BxxmxmxR，且0,3AB，则实数m的值是_____2_____；4.若542sin，且0sin，则所在的象限是____第三象限________；5.已知正数数列1,4,,21aa是等差数列,正数数列4,,,,1321bbb是等比数列,则221baa的值为_____25_____；6.不等式1log1121x的解集是__1,21________；7.数列na中，372,1aa，又数列11na是等差数列，则11a=___21_______8.设函数y＝f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图所示的线段AB，则在区间［1，2］上f（x）＝x；9．数列}{na满足112(0),2121(1).2nnnnnaaaaa且167a,则20a7510．上的是和Rxgxf奇函数，且0)(xf的解集为)1,3(，0)(xg的解集为)2,4(则0)(xgxf的解集为_____3,22,3________；11.（文）对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如3，1.082，不等式0322xx的解集是_4,1__________；（理）给出定义：若1122mxm（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{}x，即{}xm.在此基础上给出下列关于函数|}{|)(xxxf的四个命题：①函数)(xfy的定义域是R，值域是[0，21]；②函数)(xfy的图像关于直线2kx(k∈Z)对称；③函数)(xfy是周期函数，最小正周期是1；④函数()yfx在1,1上是增函数；其中真命题是__①___②___③___；二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.12．集合P={(x，y)|y=k}，Q={(x，y)|y=ax+1，a0且1a}，已知P∩Q只有一个子集，则实数k的取值范围是（A）(－∞，1)（B）(－∞，1]（C）(1，+∞)（D）(－∞，+∞)（B）13.等比数列na中,若3,184SS,则20191817aaaa的值为（）（A）14（B）16（C）18（D）20（B）14.设a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的三条边，且,5,4cbaBABAtantan33tantan，则△ABC的面积为（A）23(B)33(C)323(D)23(C)15（文）对一切实数x，不等式2||10xax恒成立，则实数a的取值范围是A、(,2]B、[2,)C、[2,2]D[0,)（B）（理）若不等式[(1)]lg0anaa对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（A）{1}aa（B）1{0}2aa（C）1{01}2aaa或（D）1{01}3aaa或（C）三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16.（本题满分14分）已知集合A＝{|(2)[(31)]0}xxxa，B＝22{|0}(1)xaxxa．⑴当a＝2时，求AB；⑵求使BA的实数a的取值范围．解：⑴5,4),5,4(),7,2(BABA（2）aa2121,21,12aaBaBa时，符合题意时，当a＜13时，A＝（3a＋1，2）要使BA，必须223112aaa，此时a＝－1；当a＝13时，A＝，使BA的a不存在；当a＞13且1a，时，A＝（2，3a＋1）要使BA，必须222131aaa，此时1a≤3．综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}17.(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2.问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?解：xy+41x2=8,∴y=xx482=48xx(0x42).于定,框架用料长度为l=2x+2y+2(x22)=(23+2)x+x16≥4246.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立.此时,x≈2.343,y=22≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时,用料最省.18.(本题满分14分)设关于x的函数)12(cos2cos2)(2axaxxf的最小值为)(ag.(1)写出)(ag的表达式；⑵试确定能使21)(ag的a值，并求出此时函数y=)(xf的最大值．解：(1)f(x)＝2(cosx－a2)2－a22－2a－1。当a≥2时，则cosx＝1时，f(x)取最小值，即g(a)＝1－4a；当－2＜a＜2时，则cosx＝a2时，f(x)取最小值，即g(a)＝－a22－2a－1；当a≤－2时，则cosx＝－1时，f(x)取最小值，即g(a)＝1综上所述：g(a)＝21,2,121,22,214,2.aaaaaa(2)若g(a)＝12，a只能在[－2,2]内。解方程－a22－2a－1＝12，得a＝－1，和a＝－3。因－1∈[－2,2]，故a＝－1为所求，此时f(x)＝2(cosx＋12)2＋12；当cosx