常用系统建模方法

常用系统建模方法主要参考资料齐欢，王小平.系统建模与仿真（第2版），第2章姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第3版），第1章1常用系统建模方法1.系统模型的概述2.建模的逻辑思维方法3.图解建模法4.层次分析法5.聚类分析21.系统模型的概述从现实对象到数学模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。3系统模型计算机系统建模仿真实验仿真建模建模仿真三要素及三个基本活动1.系统模型的概述从现实对象到数学模型系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具，它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基础，也是解决系统工程问题不可缺少的技术手段。建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任务。数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式。41.系统模型的概述数学模型与数学建模数学模型（MathematicalModel）•对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学建模（MathematicalModeling）•建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释、检验等。51.系统模型的概述一个简单的数学模型：“航行问题”甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?6用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时20千米/小时.x=20y=5求解1.系统模型的概述一个简单的数学模型：“航行问题”可以看出，上述过程的主要步骤如下：•作出简化假设（船速、水速为常数）；•用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；•用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；•求解得到数学解答（x=20,y=5）；•回答原问题（船速每小时20千米/小时）。71.系统模型的概述数学模型的特点模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性8模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性1.系统模型的概述数学模型的分类应用领域•人口、交通、经济、生态……数学方法•初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性•确定和随机，静态和动态，离散和连续，线性和非线性了解程度•白箱、灰箱、黑箱91.系统模型的概述数学建模的基本方法机理分析•根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律。测试分析（实验统计建模）•将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。二者结合•用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数101.系统模型的概述数学建模的基本步骤11模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用1.系统模型的概述数学建模的基本步骤1）模型准备•了解实际背景•明确建模目的•搜集有关信息•掌握对象特征12模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用形成一个比较清晰的“问题”1.系统模型的概述数学建模的基本步骤2）模型假设•针对问题特点和建模目的，作出合理的、简化的假设•在合理与简化之间作出折中3）模型构成•用数学的语言、符号描述问题•发挥想像力•使用类比法•尽量采用简单的数学工具13模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用1.系统模型的概述数学建模的基本步骤4）模型求解•利用各种数学方法、软件和计算机技术•解析解、仿真5）模型分析•例如，对结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析6）模型检验•与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性14模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用2.建模的逻辑思维方法建模是一项复杂的思维活动，也可以看成是一门艺术，因而既没有统一的模式，也没有固定的方法，需要多方面的能力分析综合能力抽象概括能力想象洞察能力运用数学工具的能力通过实践验证数学模型的能力通过实例研究，了解建模过程常用的思维方法，包括抽象、归纳、演绎、类比等。152.建模的逻辑思维方法1)抽象揭示事物的共性和联系的规律忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般规律实例研究：椅子能在不平的地面上放稳吗？•把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。为什么？16椅子能在不平的地面上放稳吗？问题分析涉及的对象：地面，椅子椅子的位置和调整放稳：椅子的四只脚着地模型假设四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。17椅子能在不平的地面上放稳吗？模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。1）椅子位置和调整的表述•利用正方形（椅脚连线）的对称性•用（对角线与x轴的夹角）表示椅子位置•以中心为对称点，正方形绕中心的旋转对应椅子位置的调整18xBADCOD´C´B´A´正方形ABCD绕O点旋转椅子能在不平的地面上放稳吗？模型构成2）椅脚着地的数学表示•四只脚着地：椅脚与地面距离为零，距离是的函数19xBADCOD´C´B´A´正方形ABCD绕O点旋转四个距离(四只脚)两个距离正方形对称性f()：A,C两脚与地面距离之和g()：B,D两脚与地面距离之和椅子能在不平的地面上放稳吗？模型构成在此基础上，用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来：20xBADCOD´C´B´A´正方形ABCD绕O点旋转f(),g()是连续函数对任意,f()和g()至少一个为0地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地椅子能在不平的地面上放稳吗？模型构成问题的形式化描述：21xBADCOD´C´B´A´正方形ABCD绕O点旋转已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.椅子能在不平的地面上放稳吗？模型求解主要思路22xBADCOD´C´B´A´正方形ABCD绕O点旋转将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()–g(),则h(0)0和h(/2)0.由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.2.建模的逻辑思维方法2)归纳从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式。立足于观察、经验或实验的基础上的；依据若干已知的不完全的现象推断尚属未知的现象。实例研究：开普勒第三定律的发现23开普勒第三定律的发现开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律在相等时间内，太阳和运动中的行星的连线（向量半径）所扫过的面积都是相等的。24开普勒第三定律的发现开普勒第三定律也叫行星运动定律：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴a的立方与周期T的平方之比是一个常量。25k为开普勒常数行星周期T长半轴aT2a3水星0.2410.3870.0580.058金星0.6150.7230.3780.378地球1.001.0001.0001.000火星1.8811.5243.5403.540木星11.8625.203140.700140.850土星29.4579.539867.700867.9802.建模的逻辑思维方法3)演绎由一般性的命题推出特殊命题的推理方法。•典型的，如公理化的几何学实例研究：牛顿万有引力定律的演绎26牛顿万有引力定律的演绎模型假设开普勒第一、二、三定律牛顿运动第二定律•a=F/m(F=ma)：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同。27极坐标系(r,)太阳(0,0)行星位置：向径))(),(()(ttrtrO(太阳)P(行星)rr牛顿万有引力定律的演绎模型假设28O(太阳)P(行星)rra~长半轴,b~短半轴,e~离心率1）行星运行轨道)1(,,cos12222eababpeprAr2/23）行星运行周期T32aTrmf2）单位时间扫过面积为常数Arm~行星质量~绝对常数4）行星运行受力f22002():0~~(11()()()()221()=()()2tStttStrdrttdtStrtt积分变换行星在时间(对应角度从0))扫过的面积则单位时间扫过的面积为：模型构成29向径的基向量（平面直角坐标）rjiujiur)cos()sin()sin()cos(rurrrruuuuurrurrrururrrr)2()(2Ar2/2324,2rrArA02rrrurrr)(2cos1epr32)(4,sin2prrpArpAerruprAr224rmfrrrrprmAf0022,4rurrO(太阳)P(行星)rrruuxy30rrrrprmAf0022,4万有引力定律02rrkMmf需证明4A2/p=kM（与哪一颗行星无关）A~单位时间扫过面积r32aTabTAO(太阳)P(行星)rrkM/42//22pA)1(,,cos12222eababpepr2.建模的逻辑思维方法4)类比在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其它方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。实例研究•1）机械系统和电路系统的类比。•2）方式算法：遗传算法、蚁群优化算法、人工神经网络、粒子群优化算法(ParticleSwarmOptimization)31PSO算法PSO是一种基于群体智能的进化计算方法,由Kennedy和Eberhart博士于1995年提出。基本原理32将最优解的搜索类比于鸟群的捕食行为。设想一群鸟在随机搜寻食物，在这个区域里只有一块食物，所有鸟都不知道食物在哪里，但是他们知道当前的位置离食物还有多远，那么找到食物的最优策略是什么呢?最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域，根据自己飞行的经验判断食物的所在。基本原理在PSO中，把一个优化问题看作是在空中觅食的鸟群，那么“食物”就是优化问题的最优解，而在空中飞行的每一只觅食的“鸟”就是PSO算法中在解空间中进行搜索的一个“粒子”(Particle)。粒子在搜索空间中以一定的速度飞行，这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整。所有的粒子都有一个被目标函数决定的适应值(fitnessvalue)，这个适应值用于评价粒子的“好坏”程度。每个粒子知道自己到目前为止发现的最好位置（particlebest，记为pbest）和当前的位置，pbest就是粒子本身找到的最优解，这个可以看作是粒子自己的飞行经验。除此之外，每个粒子还知道到目前为止整个群体中所有粒子发现的最好位置(globalbest，记为gbest)，gbest是在pbest中的最好值，即是全局最优解，这个可以看作是整个群体的经验。33算法描述34假设在一个N维空间进行搜索，粒子i的信息可用两个N维向量来表示：第i个粒子的位置可表示为速度为在找到两个最优解后，粒子即可根据下式来更新自己的速度和位置：11kidkidkidvxx)