线性代数习题册(答案)

线性代数习题册答案第一章行列式练习一班级学号1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）τ(3421)=5;（2）τ(135642)=6;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42)=2+4+6+…+（2n-2）=n（n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i=8、j=3.3．在四阶行列式中，项12233441aaaa的符号为负.4．003042215=－24.5．计算下列行列式：（1）122212221=－1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）=－5或（2）111111=－3＋1＋1－（－）－（－）―（－）=－3＋3+2=2(2)(1)练习二班级学号1．已知3阶行列式det()ija=1，则行列式det()ija=－1.3(1)112．1112344916=2.3．已知D=1012110311101254,则41424344AAAA=—1.用1，1，1，1替换第4行4．计算下列行列式：(1)111abcabcabc=13233110110011,0110111111rrrrccabcbcabcabc(2)xyxyyxyxxyxy(3)2151130602121476(4)12140121101301315．计算下列n阶行列式：(1)nxaaaxaDaax（每行都加到第一行，并提公因式。）(2)211131111n(3)123123123nnnabaaaaabaaaaaab练习三班级学号1．设线性方程组123123123111xxxxxxxxx有惟一解，则满足的条件是什么？1,0,12.求解线性方程组12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx3.已知齐次线性方程组123123123000xxxxxxxxx有非零解，求的值。1,0,14.求三次多项式323210()fxaxaxaxa，使得：(2)3,(1)4,(1)6,(2)19ffff。自测题1.n阶行列式D=det()ija，则展开式中项1223341,1nnnaaaaa的符号为1(1)n.2.已知3阶行列式det()ija=12，则行列式det(2)ija=31(2)42.3.方程2311111220144188xxx的根为1,2，-2.4.已知齐次线性方程组0300xyzxyzyz仅有零解，则的值应为0,1.11312(1)0,015.设212111321111xxxDxx，则D的展开式中3x的系数为-1.6.计算下列行列式：（1）1322340922623383（2）122222222232222nDn第二章矩阵及其运算练习一班级学号1.设111123111,124,111051AB求32ABA及TAB。2.设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。由题意，得：,TTAABB.3.矩阵A和B满足什么条件时，222()2ABAABB恒成立？恒成立的条件是：AB=BA.4.设1123,1,0AB求AB，BA及100()BA。100123()123000BABA5.设1021A，求23,,,kAAA。练习二班级学号1.求下列矩阵的逆矩阵：（1）1225（2）1230120012.设方阵A满足220AAE，证明A及2AE都可逆，并求1A及1(2)AE。3.已知100020001A，28ABABAE，求B。4.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：（1）若0A，则0A；（2）1nAA。5.设1,PAP其中1410,,1102P求11A。练习三班级学号1.设3400430000200022A，求8A及4A。2.求下列逆矩阵：（1）11200030000200034（2）1OABO，其中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。自测题一．填空题：1．若1201,,3410AP那么20072008PAP=3412.2．A、B为三阶矩阵，12AB，，则2T-12（AB）=8.3．已知2035,,0afxxxAb（）=则()fA=22350035aabb.4．若A、B、C均为n阶矩阵，且ABBCCAE，则222ABC=3E.5．是三维列向量，111111111T，则T=3.2223Tabc二．用初等变换法求1522113151A的逆矩阵.1457111101A三．设矩阵100110011A，求nA.四．证明：n阶矩阵A对称的充分必要条件是TAA对称。五．A、B为三阶可逆矩阵，124ABBE，若120120102B，求A.第三章矩阵的初等变换与线性方程组练习一班级学号1．判断题（正确打√，错误打×）：1）某矩阵的行（列）阶梯形矩阵是唯一的（×）2）某矩阵的行（列）最简形矩阵不是唯一的（×）3）某矩阵的标准形矩阵不是唯一的（×）4）矩阵的初等变换都有逆变换，且逆变换与原变换同属一类（√）5）任何一个矩阵总能通过初等变换化为标准形（√）2．已知线性方程组12342341242122622329xxxxxxxxxx，写出其增广矩阵，并将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形、行最简形。3．已知210132A，将A化成标准形。并写出P、Q，使A的标准形等于PAQ。4．已知021213334A，利用矩阵的初等变换，求1A。15117132364A5．已知110011101A，2AXXA，求X。练习二班级学号1.选择题：1）mnA的行阶梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行为非零行，则()RA为（C）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.2）非零矩阵mnA（m＜n）中的所有的2阶子式全为0，则A的标准形为（D）（A）000mmnE；（B）000mmnE；（C）0000mn；（D）1000mn3）方阵nA的秩()RA=n，则nA必定不满足（D）（A）nA可逆；（B）nA与E等价；（C）()RAn；（D）存在,BO使ABO4）nA为奇异矩阵，下列的错误的是（C）（A）()()TRARA；（B）()RAn；（C）0A；（D）nA不与单位阵E等价2.已知矩阵310211211344A，求()RA。()RA=23.设12312323kAkk，问k为何值时，可分别使（1）()RA=1；（2）()RA=2；（3）()RA=3？4.已知n阶方阵A，使2AE为不可逆矩阵，求证：A不为零矩阵。练习三班级学号1．选择题：1）当（D）时，齐次线性方程组0mnAx一定有非零解。（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.2）设A为n（≥2）阶方阵，且()RA=n-1，12,是0Ax的两个不同的解向量，k为任意常数，则AxO的通解为（C）（A）1k；（B）2k；（C）12()k；（D）12()k.2．填空题:1）设4阶方阵1234()A，且1234，则方程组Ax的一个解向量为(1111)。2）设方程组(1)nnAxb有解，则其增广矩阵的行列式Ab=0。3）若121232343414xxaxxaxxaxxa有解，则常数1234,,,aaaa应满足条件410iia。4）已知方程组12312112323120xaxax无解，则a=-1。12111211232301112000(3)(1)3aaaaaa3．求齐次线性方程组125123345000xxxxxxxxx的解。4．解矩阵方程：1231023101X5．取何值时，非齐次线性方程组12312321231xxxxxxxxx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有解时，求解。解：132211111111111111rrA2131322223222322211011011111011002111011(1)00(2)(1)(1)(1)rrrrrr（1）当2,1时，有唯一解；2211011(1)0012A23222222(1)(1)11010022(1)(1)01001022(1)(1)0010012212231212(1)2xxx（2）当2时，无解；（3）当1时，有无穷多解。111100000000A，12123111100010xxccx，（其中12,cc是任意实数）自测题1．选择题：1）设A为n（≥2）阶奇异方阵，A中有一元素ija的代数余子式0ijA，则方程组AxO的基础解系所含向量个数为（B）（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.2）方程组2123123123000xxxxxxxxx的系数矩阵记为A，若存在三阶方阵BO，使得ABO，则（A）（A）1，0B；（B）1，0B；（C）1，0B；（D）1，0B.3）设A与B是n阶方阵，齐次线性方程组AxO，BxO有相同的基础解系123,,，则以下方程组以123,,为基础解系的是（D）（A）()ABxO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）AxOB.2．判断题:1）初等矩阵与初等变换是一一对应的（√）2）任一秩为r的矩阵A必与rEOOO等价（√）3）AxO与TAAxO为同解方程组（√）4）方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件是Axb有两个不同的解（√）3．设n阶方阵A的列向量为i（i=1，2，3，…，n），n阶方阵B的列向量为122311,,,,nnn，试问：当()RAn时，BxO是否有非零解？试证明你的结