最大模原理

1最大模原理摘要最大模原理是研究解析函数的有力工具.通过对最大模原理相关知识进行学习和研究,本文主要从两方面来探讨其相关理论:第一部分,给出了最大模原理的内容及用五种不同的方法来证明此定理,其中用调和函数的极值原理来证明是本文的创新之处；第二部分,给出了最大模原理的推论及推广,重点研究了它在具有保域性一类函数及在调和函数中的推广。关键词最大模原理区域解析函数调和函数1序言最大模原理在复变函数理论中是一条经典性定理,它深刻反映了解析函数的性质.前人对最大模原理的内容、证明、推论及应用都从不同方面给出了缜密的研究和推广,而该文鉴于前人研究的基础之上,对此原理的相关理论及其应用作了一个系统的小结,然后在此基础上进一步研究使用调和函数的极值原理来证明最大模原理；其次进一步重点研究了最大模原理在调和函数中和在扩充复平面中的推广；下面对此原理的相关理论进行探讨:2最大模原理及证明2.1最大模原理由柯西积分公式知道,一个在区域内的解析函数完全可由其边界上的积分值所确定,那么我们自然要问：一个解析函数的模在区域的最大值是否也是由边界上函数的模的值所确定,下面这一定理就回答了这个问题.定理（最大模原理）[1]设函数()fz在区域D内解析,且恒不为常数,则()fz在区域D内任意点都取不到最大值.2.2最大模原理的证明最大模原理可用多个重要定理来证明,本文将给出五种证明方法：2.2.1利用解析函数的平均值定理及唯一性定理证明在证明之前,先给出以下三个引理：引理1（解析函数的平均值定理）[1]如果函数()fz在圆0zR内解析,在闭圆0zR上连续,则dzfzfi)Re(21)(2000,即()fz在圆心0z的值等于它在圆周上的值的算术平均值.引理2若函数()fz在区域D内解析,且()fz在D内为常数,则()fz在D内也必为常数.引理3（解析函数唯一性定理的推论）[1]若在区域D内均解析的函数1()fz及2()fz在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等,则它们必在区域D内恒等.注引理1、引理3为参考文献[1]中的定理,不再给予证明,下面给出引理2的证明：2证明（1）要证明此引理2,需先证明:若()fz与()fz都在区域D内解析,则()fz在D内必为常数.事实上,设()fzuiv,则()fzuiv,由于()fz与()fz在区域D内都解析,所以都满足CR方程,即yxvu,xyvu与yxvu,xyvu.所以0xyyxvuvu.可见,u，v在D内为常数.因此,()fzuiv在D内为常数.（2）再证引理2,由于()fz在D内为常数,所以2()fz在D内为常数.且有)()()(2zfzfzf.①不妨设()fzc,若0c,则()fz在D内必为常数.若0c,由于()fz在区域D内解析,则由①式,得)()()()(22zfczfzfzf在D内解析.由(1)的证明结论可知，()fz在D内必为常数.所以引理2得证.下面用第一种方法证明最大模原理：证明令sup()zDMfz,若M,则定理显然成立.若0M,则假设在区域D内存在一点0z,使Mzf)(0.②下面分三步来证明:(1)在D内作以0z为心,R为半径的小圆,使以及内部都属于D,由引理1知,有dzfzfi2000)Re(21)(.③又由假设知0(Re)ifzM,而0(Re)ifz是的连续函数,若存在一点0,当0时,有30(Re)ifzM由()fz的连续性知,必存在0,当00时,有0(Re)ifzM.故由②、③得dzfzfMi2000)Re(21)(dzfdzfdzfiii200000000)Re(21)Re(21)Re(21)]2(2)([2100MMMM矛盾.所以()fzM（z）.由此可得在点的充分小的邻域K内有()fzM.(2)由引理2知,()fz在区域K内必为一常数.(3)由引理3知,()fz在区域D内必为一常数,与已知矛盾.故()fz在D内任意点都取不到最大值.证毕.2.2.2利用解析函数的泰勒展式证明引理4（泰勒定理）[1]设函数()fz在区域D内解析,aD,只要圆:KzaR含于D,则()fz在K内能展成幂级数0)()(nnnazczf,其中系数!)()()(21)(1nafdaficnnn.（:,0;0,1,2aRn…）且展式是唯一的.注引理4为参考文献[1]中的定理,不再给予证明.下面用第二种方法证明最大模原理：4证明(反证法)假设()fz在区域D内的点a处取得最大值,即zD有()()fzfa.于是,存在一圆:KzaR含于D,使得Kz,有()()fzfa.由引理4知,()fz在K内能展成幂级数nnnazczf)()(0.④于是,取0rR,有)()(afreafi)20(.且由④知0()ininnnfarecre)20(.⑤其中derreafcinnin20)(21.⑥（事实上,在④式中,1()2()nnfCdia,其中是以a为圆心,R为半径的圆.令ire,则(02)idired.所以derreafdireerreaficinniininin2020)1(1)(21)(21.由⑤式知innnniercreaf0)(,所以dreafreafdreafiii)()()(20()ininnnfareCred.⑦因为级数0()ininnnfareCre在中收敛,于是⑦式中交换求和与积分的顺序得到5dereafrcdreafininnni)()(02.再由⑥式,得nnnircdreaf22022)(.又由于()()ifarefa,所以有222220)(2)()(2afdafdreafrcinnn,即2220)(afrcnnn又由④可知,所以有202222120crcrccnn.所以0nC(1,2n…).故0()()()fzCfazk.由引理3知,()()()fzfazD.与假设矛盾.因此,()fz在D内任意点取不到最大值.证毕.注证法1与证法2的相同点：都是利用反证法来证明且证明过程都是在一个小区域K内推得矛盾,从而利用解析函数的唯一性定理在整个区域D内推得矛盾.不同点：证法1主要应用解析函数的平均值定理及函数的连续性来证明,而证法2主要应用了泰勒定理及公式2zzz来证明.2.2.3利用保域定理证明引理5（保域定理）[1]设()wfz在区域D内解析且恒不为常数,则区域D的像()GfD也是一个区域.注(1)引理5为参考文献[1]中的定理,不再给予证明.(2)区域都是开的,不包含它的边界点.下面用第三种方法来证明最大模原理：证明因为()fz为区域D内非常数的解析函数,由引理5知()GfD也是一个区域.6假如()fz在区域D内点0z处取得最大值,记00()wfZ.则0w在区域G内,且0w是区域G的一个内点,即存在0使得0(,)BwG,而区域G是开的,故必存在10(,)wBw,使得01ww.于是,存在1zD使得)()(0011zfwwzf.这与0()fz是()fz在区域D中的最大值矛盾.所以,()fz在区域D内任意点取不到最大值.证毕.注其实这一证明过程也揭示了最大模原理的几何解释：利用保域定理,把区域映成区域,由于区域是开的,因此在区域内部函数的模不可能取得最大值.2.2.4利用开映照定理证明引理6（开映照定理）[2]设D是一区域,()fz是D内的非常数的解析函数,则对于D中的任意一个开集U,()fU也是一个开集.引理7（开映照定理的逆否定理）设D是一区域,若区域D内存在一个开集0U,而0()fU不是开集,则()fz在D内必为常数.注引理6为参考文献[2]中的定理,不再给予证明.下面用第四种方法证明最大模原理：证明假设0z为区域D内一点,对于区域D内所有的点z都有0()()fzfz.现令()GfD,00()wfz,由假设知,对于G内任意一点w,都有0ww,则0wGG(事实上,若0w为G的内点,则存在0,使得0(,)BwG,且在G内存在一点w,使得0ww.换句话说,若0w为G内一点,若对于G内任一点w,都有0ww,则0wG).且G不可能是开集（因为,否则GG）,由引理7知,()fz在区域D内必为常数.此时证明了最大模原理的逆否定理.因此,最大模原理得证.注(1)证法3与证法4其实质是相同的,不同的是证法3是应用保域定理来证明,而证法4是利用开映照定理的逆否定理来证明,二者的证明过程是相互联系的.(2)证法4的证明过程其实给出了最大模原理的一个推论,即若解析函数()fz的模()fz在区域D7取得了最大值,则()fz在D内必是常函数.2.2.5利用调和函数的极值原理证明引理8（调和函数中的极值原理）[1]设()uz为区域D内的调和函数,且恒不等于常数,则()uz在D内任意点处不能达到最大值.注在后面最大模原理的推广中将给出此引理的证明.下面用第五种方法证明最大模原理:证明(反证法)假设()fz在区域D内点a处取得最大值,即zD,有()()fafz.作函数()ln()Fzfz,则()fz在区域D内为调和函数.事实上,由题设()fz在单连通区域D(若D为多连通区域,则引割线使之化为单连通区域)内解析,设()fzuiv,则221ln()ln()2fzuv，所以2222ln()2212xxxxfzuuvvuuvvxuvuv,222222ln()12yyyyuuvvuuvvfzyuvuv.且2222ln()ln()fzfzxy22222222[()()]()2()()xxxxxxxxuuuvvvuvuuvvuv22222222[()()]()2()()yyyyyyyyuuuvvvuvuuvvuv222222222[()()()()]()()xxyyuvuvuvuv22222[()()]()()xxyyxxyyuuvvvvuvuv22222()()2()xxyyuuvvuuvvuv(由于()fz在区域D内解析,所以,uv为D内的调和函数,即满足0xxyyuu与0xxyyvv.且利用,uv满足RC方程,即xyuv且yxuv得)222222222[()()()()]()()xyyxuuuuuvuv22222()()02()xyyxuuvuuuvuuv82222222[()()]()2()xyuuuvuv2222222()2()()2()2()xxyyyxyxuuuvuuvuuuuvuuvuuv0.即2222ln()ln()0fzfzxy.因此,在220uv处,ln()fz是调和函数.由假设,zD有ln()ln()fafz,即()()FaFz,与引理8调和函数的极值原理矛盾.所以,()fz在区域D内任意点都取不到最大值.证毕.从以上这些证明我们可以看出,最大模原理是解析函数特有的性质,它说明:(1)解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模.(2)实函数与此却不同,可微的实函数()xf在[,]ab的最大值可能在其定义域[,]ab的端点处取得,也可能在其定义域[,]ab的内部取得.3最大模