概率论与数理统计第6章-参数估计

第六章参数估计§6.1点估计的概念与无偏性§6.2矩估计及相合性§6.3最大似然估计与EM算法§6.4最小方差无偏估计§6.5贝叶斯估计§6.6区间估计一般常用表示参数，参数所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。设x1,x2,…,xn是来自总体X的一个样本，我们用一个统计量的取值作为的估计值，称为的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：1ˆˆ(,,)nxxˆˆ其一是如何给出估计，即估计的方法问题；其二是如何对不同的估计进行评价，即估计的好坏判断标准。§6.1点估计的概念与无偏性6.1.1点估计及无偏性定义6.1.1设x1,x2,…,xn是来自总体的一个样本，用于估计未知参数的统计量称为的估计量，或者称为的点估计，简称估计1ˆˆ(,,)nxx6.1.1无偏性定义6.1.2设是的一个估计，的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有则称是的无偏估计，否则称为有偏估计。1ˆˆ(,,)nxxˆ()Eˆˆˆ,ˆ,nEElimE若那么称为估计量的偏差若则称是的渐近无偏估计量2226.1.1,,XEXDXXS例：设总体的一阶和二阶矩存在，分布是任意的，记证明：样本均值和样本方差分别是和的无偏估计。12,,,nXXXX证：因与同分布，故有：X故是的无偏估计11111nniiiiEXEXEXnnnn22221111()11nniiiiESEXXEXnXnn22211nn22S故是的无偏估计对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩ak是总体k阶原点矩k的无偏估计。但对中心矩则不一样，譬如，由于，样本方差s*2不是总体方差2的无偏估计，对此，有如下两点说明：(1)当样本量趋于无穷时，有E(s*2)2，我们称s*2为2的渐近无偏估计。(2)若对s*2作如下修正：，则s2是总体方差的无偏估计。22*1()nEsn2221*1()11niinssxxnn例6.1.2设总体为N(,2)，x1,x2,…,xn是样本，则s2是2的无偏估计，且可求出这说明s不是的无偏估计.利用修正技术可得cns是的无偏估计，其中是修偏系数.可以证明，当n时,有cn1.这说明s是的渐近无偏估计。无偏性不具有不变性，即若是的无偏估计，其函数g()不是g()的无偏估计除非g()是的线性函数2(/2)1((1)/2)nnEsnnc1((1)/2)2(/2)nnncnˆˆ6.1.2有效性定义6.1.3设是的两个无偏估计，如果对任意的∈Θ,有且至少有一个∈Θ使得上述不等号严格成立，则称比有效。12ˆˆ,12ˆˆVar()Var(),1ˆ2ˆ10112120,,,,12,2nnXUXXXnXXnn例6.1.3：设总体是取自的样本，已知的两个无偏估计为，判别与哪个有效时？22142123VarVarXnn解：100nnnnxxfx由其它22222212nnnVarEXEXnnn于是22122132VarVarnnn因为比更有效12202nnnnxnEXdxn例6.1.4设x1,x2,…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为，总体方差为2，则,,都是的无偏估计，但显然，只要n1，比有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。11ˆx2ˆx2212ˆˆVar(),Var()/n2ˆ1ˆ§6.2矩估计及相合性6.2.1替换原理和矩法估计替换原理是指用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数，譬如：•用样本均值估计总体均值E(X)，即；•用样本方差估计总体方差Var(X)，即•用样本的p分位数估计总体的p分位数，•用样本中位数估计总体中位数。ˆ()EXx2ˆVar()nXs例6.2.1对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下：29.827.628.327.930.128.729.928.027.928.728.427.229.528.528.030.029.129.829.626.9经计算有由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为:28.695,0.9185和28.6。矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。20.528.695,0.9185,28.6nxsm6.2.2概率函数P(x,θ)已知时未知参数的矩法估计设总体具有已知的概率函数P(x,1,…,k)，x1,x2,…,xn是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若1,…,k能够表示成1,…,k的函数j=j(1,…,k)，则可给出诸j的矩法估计为其中1ˆ(,,),1,,,jjkaajk11,1()1kkkinkiiniXxxEXxnEXEn例6.2.2设总体服从指数分布，由于EX=1/，即=1/EX，故的矩法估计为另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为s为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。ˆ1/x1/Var()X1ˆ1/s例6.2.3x1,x2,…,xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于不难推出由此即可得到a,b的矩估计：2(),Var(),212abbaEXX3Var(),3Var(),aEXXbEXXˆˆ3,3axsbxs6.2.3相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。但如果我们有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。定义6.2.1设∈Θ为未知参数，是的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个ε0，有(6.2.1)则称为参数的相合估计。1ˆˆ(,,)nnnxxˆlim(||)0nnPˆn相合性被认为是对估计的一个最基本要求,如果一个估计量,在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度,那么这个估计是很值得怀疑的。通常,不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证.若把依赖于样本量n的估计量看作一个随机变量序列,相合性就是依概率收敛于,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。ˆnˆn在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。定理6.2.1设是的一个估计量，若则是的相合估计，1ˆˆ(,,)nnnxxˆˆlim(),lim()0nnnnEVarˆn1ˆˆ,,nnk1ˆˆˆ(,,)nnnkg定理6.2.2若分别是1,…,k的相合估计，=g(1,…,k)是1,…,k的连续函数，则是的相合估计。例6.2.5设x1,x2,…,xn是来自均匀总体U(0,)的样本，证明x(n)是的相合估计。证明：由次序统计量的分布，我们知道x(n)的分布密度函数为p(y)=nyn-1/n,y,故有由定理6.2.1可知，x(n)是的相合估计。021202222ˆd/1ˆd/2ˆVar()0,21(1)(2)nnnnnEnyynnEnyynnnnnnnn由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到：矩估计一般都具有相合性。比如：样本均值是总体均值的相合估计；样本标准差是总体标准差的相合估计；样本变异系数是总体变异系数的相合估计。§6.3最大似然估计与EM算法定义6.3.1设总体的概率函数为P(x;)，是参数可能取值的参数空间，x1,x2,…,xn是样本，将样本的联合概率函数看成的函数，用L(;x1,x2,…,xn)表示，简记为L()，称为样本的似然函数。112()(;,,)(;)(;)(;)nnLLxxpxpxpx如果某统计量满足则称是的极(最)大似然估计，简记为MLE（MaximumLikelihoodEstimate）。1ˆˆ(,,)nxxˆ()max()LLˆ人们通常更习惯于由对数似然函数lnL()出发寻找的极大似然估计。当L()是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL()求导更加简单些。例6.3.3（6.2.6）设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3(n1+n2+n3=n)，则似然函数为其对数似然函数为22123,2(1),(1)ppp123212322222()()[2(1)][(1)]2(1)nnnnnnnnL12322ln()(2)ln(2)ln(1)ln2Lnnnnn将之关于求导，并令其为0得到似然方程解之，得由于所以是极大值点。ˆ12322201nnnn121212322ˆ2()2nnnnnnnn21232222ln()220(1)Lnnnn例6.3.4对正态总体N(,2)，θ=(,2)是二维参数，设有样本x1,x2,…,xn，则似然函数及其对数分别为22212/222122221()1(,)exp221(2)exp()21ln(,)()lnln(2)222niinniiniixLxnnLx将lnL(,2)分别关于两个分量求偏导并令其为0,即得到似然方程组(6.3.6)(6.3.7)221ln(,)1()0niiLx222421ln(,)1()022niiLnx解此方程组，由(6.3.6)可得的极大似然估计为将之代入(6.3.7)，得出2的极大似然估计利用二阶导函数矩阵的非正定性可以说明上述估计使得似然函数取极大值。11ˆniixxn2221*1ˆ()niixxsn虽然求导函数是求极大似然估计最常用的方法，但并不是在所有场合求导都是有效的。例6.3.5设x1,x2,…,xn是来自均匀总体U(0,)的样本，试求的极大似然估计。解似然函数要使L()达到最大，首先一点是示性函数取值应该为1，其次是1/n尽可能大。由于1/n是的单调减函数，所以的取值应尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于x(n)，由此给出的极大似然估计：。(){0}{}111()innxxnniLII()ˆnx极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果是的极大似然估计，则对任一函数g()，其极大似然估计为。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。ˆˆ()g例6.1.9设x1,x2,…,xn是来自正态总体N(,2)的样本，则和2的极大似然估计为，于是由不