【新】2019-2020广东实验中学初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】

第一套：满分120分2020-2021年广东实验中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1.（7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y（千米）与各自行驶时间t（小时）之间的函数图象是【】A.B.C.D.2.（7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x1=x2且y1=y2时，A=B.有下列四个命题：（1）若A(1，2)，B(2，–1)，则，；（2）若，则A=C；1122,,，AxyBxy1212,ABxxyy1212ABxxyy,31AB0ABABBC（3）若，则A=C；（4）对任意点A、B、C，均有成立.其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．（7分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE•AB．正确结论序号是（）A．①②B．③④C．①③D．①④4.（7分）如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①；②当点E与点B重合时，；③；④MG•MH=，其中正确结论为（）A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（）A.4，2，1B.2，1，4C.1，4，2D.2，4，16.（7分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，ABBCABCABC2AB12MHAFBEEF12AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，则DM的长为（）A.B.C.D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为.8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线33yx相切．设三个半圆的半径依次为r1、r2、r3，则当r1＝1时，r3＝．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为kyx．在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´．（1）当点O´与点A重合时，点P的坐标是；（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是．1339241332510.（6分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数2(0)yxx的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．11.（6分）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=41，则BN=．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：，其中.13.（12分）如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数的图象上．32221052422xxxxxxxx20122(tan45cos30)21xxkyxOyAB（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．（3）将线段AB沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA上，当线段与轴有交点时,则b的取值范围为（直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，DE是⊙O的切线，连接DE．（1）连接OC交DE于点F，若OF=CF，证明：四边形OECD是平行四边形；（2）若=n，求tan∠ACO的值bkxy11BA1A11BAxOFCF15.（12分）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。图1ABxyODC图2ABxyODCPQEF图3ABxyODC2020-2021年广东实验中学初升高自主招生数学模拟卷答案解析第一套一、选择题1.【考点】函数的图象．【分析】由题得：出发前都距离乙地180千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时小汽车又返回甲地距离又为180千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C符合题意，故选C．2.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；命题与定理；反证法的应用.【分析】根据新定义，对各选项逐一分析作出判断：（1）若A(1，2)，B(2，–1)，则.命题正确.（2）设C，若，即，∴.∴A=C.命题正确.（2）用反证法，设A(1，2)，B(2，–1)，由（1）知，取C，，即有，但AC.命题错误.（4）设C，对任意点A、B、C，均有成立.命题正确.综上所述，正确命题为（1），（2）（4），共3个.故选C.3．解：∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=∠DAO=21∠CAB，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，故①正确．由题意得，OD=R，AC=2R，∵OE：CE=OD：AC=22，∴OE≠CE，故②错误；∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°，∠AOD=90°+45°=135°，∴∠OED≠∠AOD，∴△ODE与△ADO不相似，故③错误；∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=21×45°=22.5°，∴∠COD=45°，∵AB是半圆直径，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67.5°∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，∴△CED∽△CDO，∴COCD=CDCE，∴CD2=CO•CE=21AB•CE，∴2CD2=CE•AB，故④正确．综上可得①④正确．故选：D．4.【考点】双动点问题；等腰直角三角形的判定和性质；矩形的性质；三角形中位线定理；全等、相似判定和性质；勾股定理；旋转的应用.【分析】①∵在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，∴.故结论①正确.②如答图1，当点E与点B重合时，点F与点M重合，∴MH是△ABC的中位线.∴.故结论②正确.③如答图2，将△ACF顺时针旋转90°至△BCN，连接EN，则.∵∠ECF=45°，∴.∴.∴.∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AGF和△BHE都是等腰直角三角形.∴.∴根据勾股定理，得，即.∴.故结论③错误.④∵由题意知，四边形CHNG是矩形，∴MG∥BC，MH∥CG.∴，即.∴.又∵，，∴.∴.∴∵.故结论④正确.综上所述，正确结论为①②④.故选C.5.【考点】阅读理解型问题；分类思想的应用.【分析】将各选项分别代入程序进行验证即可得出结论：A.∵，∴4，2，1是该循环的数；B.∵，∴2，1，4是该循环的数；C.∵，∴1，4，2是该循环的数；D.∵，∴2，4，1不是该循环的数.故选D.6.【答案】A.【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接，则根据矩形和切线的性质知，四边形都是正方形.∵AB=4，∴.∵AD=5，∴.设GM=NM=x，则.在中，由勾股定理得：，即，解得，.∴．故选A.二、填空题7.【答案】210。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】由图可知：第一个阴影部分的面积=22－12，第二个阴影部分的面积=42－32，第三个图形的面积=62－52由此类推，第十个阴影部分的面积=202—192，因此，图中阴影部分的面积为：（22－1）＋（42－32）＋…＋（202－192）=（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）+…+（20＋19）（20－19）=1＋2＋3＋4＋…＋19＋20=210。8.【答案】9。【考点】一次函数的图象，直线与圆相切的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】设直线33yx与三个半圆分别切于A，B，C，作AE⊥x轴于E，则在Rt∆AEO1中，易得∠AOE=∠EAO1=300，由r1＝1得EO=12，AE=132，OE=32，OO1=2。则111222222OO12RAOORBOO3OO3rrrrr∽tt同理，111333333OO12RAOORCOO9OO9rrrrr∽tt。9.【答案】（4，0），4≤t≤25或﹣25≤t≤4。【考点】反比例函数综合题，解二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理。【分析】（1）当点O´与点A重合时，即点O与点A重合，∵∠AOB=60°，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´。AP′=OP′，∴△AOP′是等边三角形。∵B（2，0），∴BO=BP′=2。∴点P的坐标是（4，0）。（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，∴∠MP′O=30°。∴OM=12t，OO′=t。过O′作O′N⊥x轴于N，∠OO′N=30°，∴ON=12t，NO′=32t。∴O′（12t，32t）。同法可求B′的坐标是（t2,3t232），设直线O′B′的解析式是ykxb，将O′、B′的坐标代入，得，解得：23t232333t+42kb。∴23333t23t+242yx。∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，∴OA=4，AB=23，∴A（2，23），代入反比例函数的解析式得：k=43，∴43yx，代入上式整理得：（23t﹣83）x2+（﹣3t2+63t）x﹣43=0，△=（﹣3t2+63t）2﹣4（23t﹣83）•（﹣43）≥0，解得：t≤25或t≥﹣25。∵当点O´与点A重合时，点P的坐标是（4，0）。∴4≤t≤25或﹣25≤t≤4。10.【答案】（31+，31）。【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】作P1⊥y轴于C，P2⊥x轴于D，P3⊥x轴于E，P3⊥P2D于F，设P1（a，2a），则CP1=13tt22t23t232kbkba，OC=2a，∵四边形A1B1P1P2为正方形，∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，∴OB1=P1C=A1D=a。∴OA1=B1C=P2D=2a－a。∴OD=a＋2a－a=2a。∴P2的坐标为（2a，2a－a）。把P2的坐标代入反比例函数2(0)yxx，得到a的方程