(有答案)常微分方程模拟题(浙江师范大学)

模拟试题1一、填空题:(每小题2分,共8分)1.方程()()0dypxyQxdx的通解是①;2.(,)(,)0MxydxNxydy是全微分方程(恰当方程)的充要条件②;3.方程432432250dydydydtdtdt的通解是③;4.方程''2'xyyyxe的特解可设为④.参考答案o1.()()[()]PxdxPxdxyeQxedxC2.MNyxo3.1234cos2sin2ttyCCtCetCet4.2()xyxAxBe二、是非判断题:(每小题2分,共12分)1.如果()()Xtit是微分方程组()()dXAtXbtdt的复值解(这里()t、()t、()bt都是实向量函数,()At是实矩阵函数),那么()Xt是微分方程组()()dXAtXbtdt的解;2.方程2220dyaydx(a是实数)的通解是12cos()sin()yCxCx;3.如果存在定负函数V(X),使得V通过方程组()dXfXdt其中()0fX）的全导数dtdV定正,那么这个方程组的零解渐近稳定;4.方程''()'()()yaxybxycx(其中a(x),b(x),c(x)连续)可以有三个线性无关的解;5.如果()t、()t均为方程组()dXAtXdt的基解矩阵,那么必存在可逆常数矩阵C使得()()ttC成立;6.方程dxdy=2y满足初始条件:x=0时y=0的解只有y=0.参考答案o1.×,2.×,3.√,4.√,5.√,6.×.三、(24分)求解下列各方程:1．dxdy=yxxyy321;2.dxdy=331yxxy;3.xydyyedxx;4.220dydyxyxdxdx.参考答案o1.dxdy=yxxyy321221(1)ydydxyxx22222()()1(1)dydxyxx2221log(1)logxxyC221211xyCx通解为2221(1)(1)yxCx或者写成2222xyxyC;o2.dxdy=331yxxydxdy=33xyxy3dxxdy=23xyy2()dxdy=2322xyy2232[2]ydyydyxeyedyC=223[2]yyeyedyC=222[(1)]yyeyeC,即,通解为222(1)yxyCe;o3.xydyyedxx,设xyu,则''uyxy=()uyyxex=uxe,所以ueduxdx22uxeC,即得通解22xyxeC;o4.x(dxdy)2-2y(dxdy)+x=0,设dxdyp,则1()22pyxp,两边关于x求导得2111()'2222ppxppp210p或'xpp.由'xpp得pCx,所以通解是2122CyxC,由1p得奇解px.四、(20分)求下列各方程的通解:1.'''28sin2xxxt;2.2''4'60txtxx.参考答案o1.'''20xxx的通解是212ttxCeCe,设原方程的特解是sincosxAtBt,将sincosxAtBt代入原方程得(62)sin(26)8sin2ABtABt,所以有628260ABAB6525AB,所以原方程的通解是21262sincos55ttxCeCett;注:如果用常数变易法或利用辅助方程2'''28itxxxe求解,则参照此解法给分.o2.2''4'60txtxx设tes则原方程化为(1)460DDxDxx,(其中dDds),即2560DxDxx,此方程通解是2312ssxCeCe,所以原方程的通解是2312xCtCt.五、(14分)解方程组:zxdtdzyxdtdyzydtdx参考答案o由11110101AE=0得2(1)0,所以，特征值是12,30,1.对于2,31，设()()()tttxAtBeyCtDezEtFe(6分)代入方程组可得ACEABDFCACCDBDEAEEFBF0ABCEBDF记1BCEC,2DC,则1121210,,,,,ABCCCDCECFCC.对于10,可求得一特征向量111.因此,原方程的通解是131231213()()tttxCeCyCtCeCzCtCCeC,或者写成12310111111ttxyCteCeCzt.六、(12分)已知微分方程'()yygx,其中g(x)=.1,010,2时当时，当xx试求一连续函数y=y(x),满足条件y(0)=0,且在区间(0,1),(1,)内满足上述方程.参考答案o1.当(0,1)x时,'2yy,所以,12xyCe.由(0)0y得12C;当(1,)x时,'0yy,所以,2xyCe.因为y(x)在x=1连续,所以222Ce.所以,所求函数是22,12(1),1xxexyeex.七、(10分)判断下列方程组的零解的稳定性:1．yyedtdyyxdtdxxcos32sin822．53yxdtdyxydtdx参考答案o1.一次近似方程是'28'3xxyyxy,特征方程28013AE,220,1,2172i.因为,特征根的实部都0,所以原方程组的零解是渐近稳定的.o2.构造Lyapunov函数22(,)Vxyxy(定正),则35462'2'2()2()2()dVxxyyxyxyxyxydx定负,因此,原方程组的零解是渐近稳定的.模拟试题2一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）1．方程0)(24yxyy是阶是(非)线性方程.2．若方程(,)(,)0MxydxNxydy（(,)(,)MxyNxy，连续）是全微分方程，则(,)(,)MxyNxy，满足关系.3．李普希兹条件是保证初值问题00(,)()dyfxydxyxy解唯一性的条件.4．对于一阶方程)()(xqyxpdxdy（p(x),q(x)∈C(a,b)）,则其任一解的存在区间是.5．对于欧拉方程0222ydxdyxdxydx，只需作变换，即可将其化为常系数线性方程.6．对于二阶方程0)(xtax，其由解)(),(21txtx所构成的Wronski行列式必为.7．对于常系数线性齐次方程组A，若常系数矩阵A的特征根的实部都是负的，则方程组的任一解当t∞时.8．单摆运动方程0sinlgm可化为一阶方程组.参考答案1.三，非2．MNyx3．充分，4．(a,b)，5．tex，o6．常数，7.趋于零，8.ymxlgdtdyydtdxsin.二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）1．yxedxdy2．22yxydxdy3．02)(2xydydxyx4.2)(22xdxdyxdxdyy5.12txax6.txxsin7.0)(2xxx参考答案o1.0Ceeyx(6分)o2.yxyyyxdydx222，解为yCyyyx2ln2o3.积分因子为21x，解为Cxyx2ln(6分)；o4.设dxdyp(1分)，令dxdyp，解为2224121xyCCxxy及(6分)；o5.（I）当0a，21232161CtCttx;（II）当0a,不防设a0,则方程的两个基本解为ate，ate易求得一个特解),1(120tax所以此时方程的解为)1(1221taeCeCxatato6.x″+x=0的通解是12cossinxCtCt(2分)，设原方程的特解是(cossin)xtAtBt(4分)，将(cossin)xtAtBt代入原方程得2sin2cossinAtBtt，所以有2120AB120AB,所以原方程的通解是121cossincos2xCtCttt注：如果用常数变易法或利用辅助方程''itxxe求解，则参照此解法给分o7.2()0xxx,设xp，则dpdpdxdpxpdtdxdtdx（2分）.所以，原方程化为2000dpdpxpppxpdxdx或由0dpxpdx得Cpx，因此得2112dxCxdxCdtxCtCdtx（6分）三．（本题11分）1．何谓)(t是线性齐次方程组A的基解矩阵？2．试求系数矩阵A=244354332上述方程组的基解矩阵.参考答案o1.称)(t是A的基解矩阵，如果)(t满足（a）)()(tAt(b)0)(dett.（4分）o2.令0244354332)(AEf，可求得2,2,1321（7分）对于11由,000344344333321xxx可取0111X,对于22，由,000444334334321xxx可取1102X对于23，由,000044374330321xxx可取1113X因此基解矩阵为ttttttteeeeeeet2222200)(.（11分）四．讨论题：（本题12分）研究方程22xydxdyn1．当n=1,方程是什么类型的方程？并求解之。2．当n=2,方程是什么类型的方程?通过观察能否直接求出其解？如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。参考答案o1.当n=1时，方程为线性非齐次方程，其解为Cdxexeyxx22（3分）o2.当n=2时，方程为Riccati方程，通过观察，易知x1为其一特解（6分），令uxy1（8分），代入原方程后可化简为,22xuudxdu此为伯努里方程，再令uv1，则又可化为,21xvdxdv可求其解为32xxcv，因此原方程的解为22331xcxxy.五．证明题：（本题10分）设)(),(21txtx是方程0)()(21xtaxtax的基本解组，则线性非齐次方程)()()(21tfxtaxtax满足初始条件0)()(00tt的解可表为ttdssfwsxtxsxtxt0)())()()()(()(1221（其中w为解)(),(21txtx所成的Wronski行列式），试证明之.参考答案o证明：设)(),(21txtx为方程0)()(21xtaxtax（1）的两个线性无关解.令',21xxxx，则（1）化为AXX'，其中)(0)(,)()(1012tftFtataA（3分）则据常数变易公式，满足初始条件0)(0t的解为ttdssFstt0)()(