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专题三三角函数3.1三角函数的图象与性质专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理11)(2011全国,理12)(2012全国,理9)(2013全国Ⅰ,理15)(2014全国Ⅰ,理6)(2015全国Ⅰ,理8)选择题填空题1.对三角函数图象的考查主要有:(1)图象的平移变换;(2)由三角函数图象确定三角函数性质;(3)由三角函数的图象(部分)确定三角函数的解析式.2.对三角函数的性质的考查:通过三角变换,将其转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性).抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是根据三角函数的图象求函数解析式或者根据三角函数的解析式求三角函数的性质.专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四三角函数的性质【思考1】求三角函数周期、单调区间的一般思路?【思考2】求某区间上三角函数最值的一般思路?例1已知函数f(x)=23sin(π-x)cosx-1+2cos2x,其中x∈R,则下列结论中正确的是()A.f(x)的一条对称轴是x=π2B.f(x)在-π3,π6上单调递增C.f(x)是最小正周期为π的奇函数D.将函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数f(x)的图象答案解析解析关闭由题意,f(x)=23sinxcosx+cos2x=3sin2x+cos2x=2sin2𝑥+π6,当x=π2时,fπ2=2sinπ+π6=-1,不是f(x)的最值,故选项A错;当x∈-π3,π6时,2x∈-2π3,π3,2𝑥+π6∈-π2,π2,故选项B正确;由f(-x)=2sin-2𝑥+π6=-2sin2𝑥-π6≠-f(x),则f(x)不是奇函数,故选项C错;将函数y=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数f(x)=2sin2𝑥+π6=2sin2𝑥+π3,故选项D错.答案解析关闭B专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数解析式进行恒等变形,把三角函数式化简成y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解.求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数.2.对于形如y=asinωx+bcosωx型的三角函数,要通过引入辅助角化为y=𝑎2+𝑏2sin(ωx+φ)cos𝜑=𝑎𝑎2+𝑏2,sinφ=𝑏𝑎2+𝑏2的形式来求解.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1(2015浙江高考)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案解析解析关闭f(x)=sin2x+sinxcosx+1=1-cos2𝑥2+12sin2x+1=12(sin2x-cos2x)+32=22sin2𝑥-π4+32.故T=2π2=π.令2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2,k∈Z,解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为3π8+𝑘π,7π8+𝑘π,k∈Z.答案解析关闭π3π8+𝑘π,7π8+𝑘π,k∈Z命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-三角函数图象的变换【思考】对三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象进行了平移或伸缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?例2(2015湖北咸宁三校联考)已知函数f(x)=sin2x向左平移π6个单位后,得到函数y=g(x),下列关于y=g(x)的说法正确的是()A.图象关于点-π3,0中心对称B.图象关于x=-π6轴对称C.在区间-5π12,-π6单调递增D.在-π6,π3单调递减答案解析解析关闭函数y=sin2x的图象向左平移π6个单位,得到的图象对应的函数为y=sin2𝑥+π6=sin2𝑥+π3.对于选项A,∵当x=-π3时,y=sin-2π3+π3≠0,∴图象不关于点-π3,0中心对称,∴A不正确;对于选项B,∵当x=-π6时,y=sin-π3+π3=0,∴图象不关于x=-π6轴对称,∴B不正确;对于选项C,∵当x∈-5π12,-π6时,2x+π3∈-π2,0,∴函数y=sin2𝑥+π3是增函数,∴C正确;对于选项D,∵当x∈-π6,π3时,2x+π3∈[0,π],∴函数y=sin2𝑥+π3是先增后减的函数,∴D不正确.故选C.答案解析关闭C命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.平移变换理论(1)平移变换:①沿x轴平移,按“左加右减”法则;②沿y轴平移,按“上加下减”法则.(2)伸缩变换:①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1𝜔倍(纵坐标y不变);②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变).2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2定义行列式运算𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4=a1a4-a2a3,将函数f(x)=sin2𝑥3cos2𝑥1的图象向左平移π6个单位,以下是所得函数图象的一个对称中心的是()A.π4,0B.π2,0C.π3,0D.π12,0答案解析解析关闭根据行列式的定义可知f(x)=sin2x-3cos2x=2sin2𝑥-π3,因为向左平移π6个单位得到g(x)=2sin2𝑥+π6-π3=2sin2x,所以gπ2=2sin2×π2=2sinπ=0,所以π2,0是函数f(x)的一个对称中心.故选B.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-由三角函数的图象求其解析式【思考】依据三角函数图象求其解析式的基本方法是什么?例3(2015全国Ⅰ高考)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.𝑘π-14,𝑘π+34,k∈ZB.2𝑘π-14,2𝑘π+34,k∈ZC.𝑘-14,𝑘+34,k∈ZD.2𝑘-14,2𝑘+34,k∈Z命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:不妨设ω0,由函数图象可知,其周期为T=2×54-14=2,所以2π𝜔=2,解得ω=π.所以f(x)=cos(πx+φ).由图象可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f34=cos3π4+𝜑=-1,解得3π4+φ=2kπ+π(k∈Z),解得φ=2kπ+π4(k∈Z).令k=0,得φ=π4,所以f(x)=cosπ𝑥+π4.令2kπ≤πx+π4≤2kπ+π(k∈Z),解得2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).所以函数f(x)=cosπ𝑥+π4的单调递减区间为2𝑘-14,2𝑘+34(k∈Z).结合选项知应选D.答案解析关闭D专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω,由图象上特殊点的坐标来确定φ,只有限定φ的取值范围,才能得出唯一解,否则φ的值不确定,解析式也就不唯一.2.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3函数y=cos(ωx+φ)(ω0,0φπ)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,A,B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为22,则该函数的一条对称轴为()A.x=2πB.x=π2C.x=1D.x=2命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:因为y=cos(ωx+φ)(ω0,0φπ)为奇函数,所以φ=π2.由题意知A,B分别为最高点与最低点,并且两点间的距离为22,则(22)2=22+𝑇22,解得T=4.所以函数的表达式为y=-sinπ2x,显然x=1是它的一条对称轴方程.故选C.答案解析关闭C专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-三角函数的图象与性质的综合应用【思考】如何求给定区间上函数y=Asin(ωx+φ)的最值?例4已知函数f(x)=23sin𝑥2+π4cos𝑥2+π4-sin(x+π).(1)求f(x)的最小正周期;(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.答案答案关闭(1)∵f(x)=3sin𝑥+π2+sinx=3cosx+sinx=232cos𝑥+12sin𝑥=2sin𝑥+π3,∴f(x)的最小正周期为2π.(2)∵将f(x)的图象向右平移π6个单位,得到函数g(x)的图象,∴g(x)=f𝑥-π6=2sin𝑥-π6+π3=2sin𝑥+π6.∵x∈[0,π],∴x+π6∈π6,7π6,∴当x+π6=π2,即x=π3时,sin𝑥+π6=1,g(x)取得最大值2.当x+π6=7π6,即x=π时,sin𝑥+π6=-12,g(x)取得最小值-1.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-题后反思对于给定区间上函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的最值问题,常用的方法是:首先要求出(ωx+φ)的取值范围,然后将(ωx+φ)看作一个整体t,利用y=Asint的单调性求解.另外借助函数y=Asin(ωx+φ)的图象求最值也是常用方法.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-对点训练4设函数f(x)=sinx+sin𝑥+π3.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y=f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到.答案答案关闭(1)因为f(x)=sinx+12sinx+32cosx=32sinx+32cosx=3sin𝑥+π6,所以当x+π6=2kπ-π2(k∈Z),即x=2kπ-2π3(k∈Z)时,f(x)取最小值-3.此时x的取值集合为𝑥𝑥=2𝑘π-2π3,𝑘∈Z.(2)先将y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),得y=3sinx的图象;再将y=3sinx的图象上所有的点向左平移π6个单位,得y=f(x)的图象.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题三3.1三角函数的图象与性质考情分析高频考点核心归纳核心归纳-16-规律总结拓展演练1.求三角函数的周期、单调区间及判断其奇偶性的问题,常通过三角恒等变换将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式.2.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象有两种方法,一是先平移再伸缩,二是先伸缩再平移,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;当由y=Asinωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)(ω0)的图象时,需平移的单位数应为𝜑𝜔,而不是|φ|.专题三3.1三角函数的图象与性质