6.1不等式的性质

学科：数学教学内容：6.1不等式的性质学习目的：1.重视实数的运算性质与大小顺序之间的关系.2.明确比较两个实数a与b的大小，就是判断它们的差a-b的符号.3.掌握不等式的每一个性质及每一个性质的条件.4.注意将不等式的性质与等式的性质进行类比，特别要搞清楚它们之间的区别.方法导引：1.比较两个实数的大小，常常利用作差法，作商法，平方作差法.2.证明不等式的性质，常常利用比较实数大小的方法.3.证明简单的不等式(或判断一个不等式是否正确)，常常利用不等式的性质，特别要注意不等式成立的条件.4.不等式的应用，常常将实际问题转化为不等式的相关问题，然后利用不等式的性质求解.例题精讲：例1若a,b∈R+，比较212)ba(+212)ab(与a+b的大小.分析：作差法，作商法，平方作差法是比较两数大小的常用方法，我们在解题中要时刻记住这一条.解法一：(作差法).∵a,b∈R+∴〔212)ba(+212)ab(〕-(a+b)＝ba+ab-a-b＝bba+aab＝(a-b)(b1-a1)＝abbaba))((＝abbaba2))((≥0∴212)ba(+212)ab(≥a+b.解法二：(作商法).∵a,b∈R+∴baabba212212)()(＝baabba＝abbaba)()()(33＝abab-ba＝ababba2)(≥abab＝1∴212)ba(+212)ab(≥a+b.解法三：(平方作差法).∵〔212)ba(+212)ab(〕2-(a+b)2＝(ba2+ab2+2ab)-(a+b+2ab)＝abba33-(a+b)＝abba(a2+b2-ab-ab)＝ab2b)-b)(a(a≥0∴212)ba(+212)ab(≥a+b.例2设2a3,-4b-3,求a+b,a-b,ba,ab,ab2的取值范围.分析：运用不等式的性质解题的关键是弄清性质成立的前提条件.解：(1)∵2a3,-4b-3∴-2a+b0(加法法则)(2)∵-4b-3∴3-b4(乘法单调性)∵2a3∴5a-b7(加法法则)(3)∵-4b-3∴-31b1-41(倒数法则)∴41-b131(乘法单调性)∴21-ba1(乘法法则)∴-1ba-21(乘法单调性)(4)∵3-b4∴6-ab12(乘法法则)∴-12ab-6(乘法单调性)(5)∵3-b4∴9b216(乘方法则)∵2a3∴31a121(倒数法则)∴3ab28(乘法法则)点评：在求解过程中要避免犯如下错误：2a3由得-8ab-9.这是因为在运用乘法法则时不符合其前提条件.-4b-3例3如果ab，则下列不等式中正确的是()A.algxblgx(x0)B.ax2bx2C.a2b2D.2xa2xb分析：在进行不等式变形时，要注意每一步骤的理论依据是什么，切忌“随心所欲”.解：∵lgx∈R，当lgx0时，由ab得algxblgx,∴algxblgx不成立.x＝0时，ax2＝bx2＝0∴ax2bx2不成立.∵a2-b2＝(a+b)(a-b)由ab得a-b0，但a+b的符号不确定，∴a2b2不成立.∵2x0∴2xa2xb成立.因此应选D.点评：在运用不等式的性质时，乘以“数(式)”时要当心，进行“放、缩”时要当心，在“取倒”时要当心.疑难解析：例已知f(x)＝ax2-c且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.分析一：要求f(3)的取值范围，因为f(1),f(2)的范围已知，故应建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系，可通过a、c将f(3)用f(1)和f(2)表示.解法一：∵f(1)＝a-c,f(2)＝4a-ca＝3f(1)-f(2)∴c＝34f(1)-f(2)∴f(3)＝9a-c＝9×3f(1)-f(2)-34f(1)-f(2)＝-35f(1)+38f(2)∵-4≤f(1)≤-1∴35≤-35f(1)≤320∵-1≤f(2)≤5∴-38≤38f(2)≤340∴-1≤-35f(1)+38f(2)≤20即-1≤f(3)≤20分析二：建立f(3)关于f(1)和f(2)的关系时，也常用待定系数法.解法二：令f(3)＝mf(1)+nf(2)则9a-c＝m(a-c)+n(4a-c)即9a-c＝(m+4n)a-(m+n)cm+4n＝9m＝-35∴解得m+n＝1n＝38∴f(3)＝-35f(1)+38f(2)下面解法同解法一.分析三：运用数形结合的思想方法，让问题变得直观明了.-4≤x-y≤-1解法三：依题意，问题转化为当动点P(x,y)在满足条件-1≤4x-y≤5-4≤x-y≤-1的区域上变化时，求b＝9x-y的取值范围.而满足条件-1≤4x-y≤5的区域是由直线x-y＝-1，x-y＝-4及直线4x-y＝5，4x-y＝-1围成的平行四边形区域(图6-1中阴影部分).图6-1下面考虑在直线9x-y＝b平行移动过程中，当它与图6-1中阴影部分有公共点时，求b的取值范围.易知，当直线9x-y＝b经过点A(0，1)时，b＝9x-y取最小值9×0-1＝-1，当直线9x-y＝b经过点c(3,7)时，b＝9x-y取最大值9×3-7＝20.∴-1≤b≤20即-1≤9x-y≤20∴-1≤f(3)≤20注意：本题在求解过程中，常常犯这样的错误.-4≤a-c≤-10≤a≤3由求得-1≤4a-c≤51≤c≤7从而-7≤9a-c≤26即-7≤f(3)≤26.显然，f(3)的取值范围扩大了，其扩大的原因是由满足条件形成的区域(图6-2中阴影部分)比图6-1中所示的区域要大，所以它们表示的范围不同.事实上，在图6-2中，当直线9x-y＝b经过点D(0，7)时，b＝9x-y取最小值9×0-7＝-7.当直线9x-y＝b经过点B(3，1)时，b＝9x-y取最大值9×3-1＝26.从而得到-7≤9x-y≤26.即-7≤f(3)≤26.考点预测：本节考点：1.利用作差法，作商法比较两个实数的大小.2.利用不等式的性质判断不等式的正误.3.利用不等式的性质求变量的取值范围.综合实践：1、已知等比数列｛an｝的首项与公比均为a(-1a0)，若bn＝anlg｜an｜(n∈N)，问是否存在自然数n0，使得对于任意n∈N都有bn≥0nb?若存在，求出n0的值；若不存在，请说明理由.解：∵an＝a·an-1＝an，∴bn＝nanlg｜a｜.∵-1a0，∴n为偶数时，bn0,n为奇数时，bn0,假设符合条件的n0存在，则n0必为正偶数.∵b2k+2-b2k＝(2k+2)a2k+2lg｜a｜-2ka2klg｜a｜＝a2klg｜a｜［(2k+2)a2-2k］＝2a2klg｜a｜［(a2-1)k+a2］＝2a2klg｜a｜(a2-1)［k-22a-1a］，取22a-1a的整数部分为k0，则kk0时，b2k+2b2k,k＝k0时，b2k+2≤b2k,kk0时，b2k+2b2k,∴b2b4…220kb-202kb≥02kb+2,且02kb+202kb+402kb+b…，∴存在n0＝2k0+2，使得n取所有正偶数时，bn≥0nb，又n取奇数时，bn0，∴bn0nb，从而，对任意n∈N，有bn≥0nb.2、设0x1，且a0,a≠1，试比较｜loga(1-x)｜与｜loga(1+x)｜的大小.分析：因为a的值不确定，在解题过程中可运用换底公式去掉绝对值，也可通过平方去掉绝对值.本题可采用作差法，作商法，平方作差法比较大小.解法一：(作差法)｜loga(1-x)｜-｜loga(1+x)｜＝axlg)1lg(-axlg)1lg(＝alg1［｜lg(1-x)｜-｜lg(1+x)｜］＝alg1［-lg(1-x)-lg(1+x)］＝-axlg)1lg(20∴｜loga(1-x)｜｜loga(1+x)｜解法二：(作商法))1(log)1(logxxaa＝｜log(1+x)(1-x)｜＝-log(1+x)(1-x)＝log1+xx-11＝log(1+x)2x-11x＝log(1+x)(1+x)-log(1+x)(1-x2)＝1-log(1+x)(1-x2)1∴｜loga(1-x)｜｜loga(1+x)｜解法三：(平方作差法)∵｜loga(1-x)｜2-｜loga(1+x)｜2＝［loga(1-x)］2-［loga(1+x)］2＝［loga(1-x)+loga(1+x)］［loga(1-x)-loga1+x］＝loga(1-x2)logax1x-1＝lg(1-x2)lgx1x-1·(lga1)2∵01-x21∴lg(1-x2)0又0x1x-11∴lgx1x-10∴lg(1-x2)lgx1x-1·2(lga)10∴｜loga(1-x)｜｜loga(1+x)｜3、若对于某区间D内任意x1,x2，恒有f(221xx)≥2)()(21xfxf，则称函数f(x)是区间D上的上凸函数，证明函数f(x)＝logax(a1)在区间(0，+∞)上是上凸函数.分析：只需证明函数f(x)＝logax满足条件.证明：设x1,x2∈(0,+∞)则f(221xx)-2)()(21xfxf＝loga221xx-21(logax1+logax2)＝loga21212xxxx＝loga212122122)(xxxxxx＝loga［1+212212)(xxxx］≥loga1＝0∴f(x)＝logax(a1在区间(0，+∞)上是上凸函数.4、有甲、乙、丙三种食物的维生素A、D含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/千克)600700400维生素D(单位/千克)800400500成本(元/千克)1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素D.(1)用x,y,z表示混合物的成本C(元)(2)确定x,y,z的值，使成本最低.解：(1)依题意：C＝11x+9y+4z且x+y+z＝100∴C＝11x+9y+4(100-x-y)＝400+7x+5y600x+700y+400z≥56000(2)依题意800x+400y+500z≥63000将z＝100-x-y代入上方程组化简得2x+3y≥1603x-y≥130令C＝400+m(2x+3y)+n(3x-y)2m+3n＝7m＝2则∴3m-n＝5n＝1∴C＝400+2(2x+3y)+(3x-y)≥400+2×160+130＝8502x+3y＝160x＝50当且仅当即时等号成立.3x-y＝130y＝20此时z＝100-50-20＝30因此，当x＝50千克，y＝20千克，z＝30千克时成本最低，为850元.【同步达纲练习】知识强化：一、选择题1.下列命题正确的是()A.若ab,则ac2bc2B.若ab,cd，则acbdC.若22ca22cb，则abD.若ab,ab0，则a1b1.2.设ab0，则下列不等式中不成立的是()A.a1b1B.b-a1a1C.｜a｜｜b｜D.a2b23.若a＝log0.20.3b＝log0.30.2，c＝1，则a、b、c的大小关系是()A.abcB.bacC.bcaD.cba4.“a+b2c”的一个充分条件是()A.ac或bcB.ac且bcC.ac或bcD.ac或bc5.若a0,-1b0，则下列不等式中正确的是()A.aabab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a二、填空题6.若abc0，则ab,bc,ac,c从小到大的顺序是____________________.7.已知12m60,15n36,则nm的取值范围是_________________.8.若a,b∈R，给出下列条件：(1)a+b1,(2)a+b＝2,(3)a+b2,(4)a2+b22,(5)ab1,