2008高三第一学期期中理科数学试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）2007.11学校：班级：姓名：一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)在复平面内，复数21ii对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限(2)函数13(10)xyx≤的反函数是（）（A）31log(0)yxx（B）31log(0)yxx(C)31log(13)yxx≤(D)31log(13)yxx≤（3）“1a”是“11a”成立的（）（A）充分必要条件（B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（D）既非充分也非必要条件（4）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）（A）2logyx（0x）（B）3yxx（xR）（C）3xy（xR）（D）1yx（xR，0x）（5）在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为（）（A）83（B）73（C）72（D）289（6）定义在R上的函数()fx为奇函数，且(5)()fxfx.若(2)1,(3)ffa，则（）（Ａ）3a（Ｂ）3a（Ｃ）1a（Ｄ）1a（7）给出下列命题：①如果函数()fx对任意的xR，都有()()faxfax（a为一个常数），那么函数()fx必为偶函数；②如果函数()fx对任意的xR，满足(2)()fxfx，那么函数()fx是周期函数；③如果函数()fx对任意的12,xxR、且12xx，都有1212)[()()]0xxfxfx(，那么函数()fx在R上是增函数；④函数()yfx和函数(1)2yfx的图象一定不能重合.其中真命题的序号是（）（A）①④（B）②③（C）①②③（D）②③④题号一二三总分（15）（16）（17）（18）（19）（20）分数(8)如果数列{}na满足：首项11a且12,2,nnnanaan为奇数,为偶数,那么下列说法中正确的是（）（A）该数列的奇数项135,,,aaa成等比数列，偶数项246,,,aaa成等差数列（B）该数列的奇数项135,,,aaa成等差数列，偶数项246,,,aaa成等比数列（C）该数列的奇数项135,,,aaa分别加4后构成一个公比为2的等比数列（D）该数列的偶数项246,,,aaa分别加4后构成一个公比为2的等比数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.(9)2241lim()42xxx__________________.(10)已知等差数列{}na中，12981aaa且6714171aaa，则5a，公差d_________.(11)若2()nxx的展开式中第三项是常数项，则n，且这个展开式中各项的系数和为_______.(12)在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数共有个.(13)若不等式22xxa对于一切2,3x恒成立，则实数a的取值范围为____.(14)近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：①在9×9的九宫格子中,分成9个3×3的小九宫格,用1到9这9个数字填满整个格子;②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少.那么A处应填入的数字为__________；B处应填入的数字为___.49A3572635428691769354289B5128764三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.(15)（本小题共12分）已知全集UR，集合2|log(3)2,Axx≤集合5|12Bxx≥.（I）求A，B；(II)求()UABð.(16)（本小题共13分）已知函数24().fxxx（I）求函数f(x)的单调减区间；（II）当[1,4],().xfx时求函数的最大值和最小值.（17）（本小题共13分）今有一长2米宽1米的矩形铁皮，如图，在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后，沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）.（I）求水箱容积的表达式()fx，并指出函数()fx的定义域；（II）若要使水箱容积不大于43x立方米的同时，又使得底面积最大，求x的值.（18）（本小题共14分）某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数的分布列如下表：8910P0.10.50.4该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止.（I）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；（II）求该选手训练停止时，射击的次数的分布列及期望.（19）（本小题共14分）已知数列{}na的前n项和为nS，且111,(2)nnananS(1,2,3,n)….（I）求证：数列{}nSn为等比数列；（II）求数列{}na的通项公式及前n项和nS，并求limnnnSa；（III）若数列{}nb满足：112b，11nnnbbSnn(1,2,3,n)…，求数列{}nb的通项公式.（20）（本小题共14分）设函数fx的定义域为R，若fxx≤对一切实数x均成立，则称函数fx为函数．（I）试判断函数1()sinfxxx、2ee1xxfx和2321xfxx中哪些是函数，并说明理由；（II）若函数yfx是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2，均有1212fxfxxx≤，求证：函数fx一定是函数；（III）求证：若1a，则函数2()ln()lnfxxaa是函数.海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2007.11一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案ADBBCCBD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）14（10）9，2（11）6，1（12）60（13）(,8)（14）1，3三、解答题（本大题共6小题,共80分.）(15)（共12分）解:（I）由已知得：22log(3)log4x≤，∴3430,xx≤解得13x≤，∴{|13}Axx≤.……………….3分由51,(2)(3)0,202xxxx≥得≤且，解得23x≤.∴{|23}Bxx≤.…………………………………………………….8分（II）由（I）可得{|13}RAxxx或≥ð.…………………………………….10分故(){|21UABxxð或3}x..……………….12分(16)（共13分）解：（I）38()1fxx，3分令3380xx，4分02.x解得--------------------------------------------------6分∴函数()fx的单调减区间为(0,2).（注：也可以写为(0,2]）-----------------7分（II）1:方法由（I）可得x11,222,44fx—0＋fx5↘3↗144-----------------------------12分minmax()(2)3,()(1)5.fxffxf13分2:()0fx方法由，得12,(1)5,(2)3,(4)44xfff计算得.11分maxmin()5,()3.fxfx13分（17）（共13分）解：（I）由已知该长方体形水箱高为x米，底面矩形长为﹙22x﹚米，宽﹙12x﹚米.2分∴该水箱容积为()(22)(12)fxxxx32462xxx.4分其中正数x满足220,10.120,2xxx∴所求函数()fx定义域为102xx.7分（II）由3()4fxx≤，得0x≤或13x≥.定义域为102xx,1132x≤.9分此时的底面积为2()(22)(12)462Sxxxxx11[,)32x.10分由231()4()44Sxx，可知()Sx在11[,)32上是单调减函数，12分∴1.3x13分答：满足条件的x是13米.（18）（共14分）解：（I）“射击三次的总环数为30”的事件记为A，“射击三次的总环数为29”的事件记为B.---1分则3()0.40.064PA，123()C0.40.50.24PB.------------------------------5分由已知，事件A与B互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为()()()0.304PABPAPB.------------------------------------------------------7分即该选手恰好射击了三次的概率为0.304.---------------------------8分（II）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下36P0.3040．696---------------------------------11分30.30460.6965.088E.--------------------------------------------13分即该选手训练停止时射击的次数的期望为5.088.---------------------------14分（19）（共14分）解：（I）将11nnnaSS代入已知1(2)nnnanS，整理得121nnSSnn(1,2,3,n)….-----------------------------4分又由已知111S，所以数列{}nSn是首项为1，公比为2的等比数列.-------------------5分（II）由（I）的结论可得12nnSn，∴12nnSn.----------------------------------------6分当n≥2时，12221212221(1)2nnnnnnnaSSnnnnn，由已知11a，∵当1n时，2(1)21nn，∴2(1)2nnan(1,2,3,n)….----------------9分∴22limlimlim2111nnnnnSnann------------------------------------------------------10分（III）由11nnnbbSnn(1,2,3,n)…，得1121nnnbbnn，由此式可得2121nnnbbnn，312212nnnbbnn，3232232bb，2221221bb.把以上各等式相加化简得11112122122nnnbn，--------------------------------13分∴(21)2nnnb(1,2,3,n)…-----------------------------------------------------------------------------14分.（20）（共14分）证明：（I）∵|||sin|||xxx≤，∴1()sinfxxx是函数；1分∵21(0)2f，∴不满足(0)|0|f≤，∴2e()e1xxfx不是函数；3分当0x时，(0)0f，显然符合条件；当0x时，223221()||||122xxfxxxxx≤≤，∴232()1xfxx是函数.4分（II）