I02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及答案(上海卷.理)

2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·理）试题考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数f(x)=log4(x+1)的反函数f1(x)=．2．方程4x+2x-2=0的解是．3．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OAOP=4。则点P的轨迹方程是．4．在(x-a)的展开式中,x的系数是15,则实数a=．5．若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的方程是．6．将参数方程x=1+2cosθy=2sinθ(θ为参数)化为普通方程,所得方程是．7．计箅:nlim112323nnnn=．8．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是．(结果用分数表示)9．在△ABC中，若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则△ABC的面积S＝．10．函数f(x)=sinx+2xsin,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是．11．有两个相同的直三棱柱,高为a2,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是．12．用n个不同的实数a1,a2,┄an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成123一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,┄,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+┄+(-1)nnain,132i=1,2,3,┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都213是12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成231的数阵中,b1+b2+┄+b120=．312321二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分．13．若函数f(x)=121X,则该函数在(-∞,+∞)上是[答]()(A)单调递减无最小值(B)单调递减有最小值(C)单调递增无最大值(D)单调递增有最大值14．已知集合M={x│1x≤,x∈R},P={x│15x≥1,x∈Z},则M∩P等于[答]()(A){x│0x≤3,x∈Z}(B){x│0≤x≤3,x∈Z}(C){x│-1≤x≤0,x∈Z}(D){x│-1≤x0,x∈Z}15．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线[答]()(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条(D)不存在16．设定义域为R的函数f(x)=1lgx,x≠10,x=1,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是[答]()(A)b0且c0(B)b0且c0(C)b0且c=0(D)b≥0且c=0三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤.17．（本题满分12分）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC1与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)[解]18．（本题满分12分）在复数范围内解方程iiizzz23)(2(i为虚数单位)[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,点A、B分别是椭圆1203622yx长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于MB,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.[解20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?[解]21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x),f(x)·g(x)当x∈Df且x∈Dg规定:函数h(x)=f(x)当x∈Df且xDgg(x)当xDf且x∈Dg(1)若函数f(x)=11x,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.[解]22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点,A2为A1关于点P2的对称点,┄,AN为AN-1关于点PN的对称点.(1)求向量20AA的坐标;(2)当点A0在曲线C上移动时,点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;(3)对任意偶数n,用n表示向量nAA0的坐标.[解]上海数学(理工农医类)参考答案一.1.1.4x-12.x=03.x+2y-4=04.-215.1922yx6.(x-1)2+y2=47.38.739.431510.1k311.0a31512.-1080二.13.A14.B15.B16.C三.17.[解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=5.又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°,CH=2,HB=3,∴CB=13.又在Rt△CBC1中,可得BC1=17,在△ABC1中,cos∠C1BA=17173,∴∠C1BA=arccos17173异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos17173另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1(0,1,2),B(2,4,0),∴1BC=(-2,-3,2),CD=(0,-1,0),设1BC与CD所成的角为θ,则cosθ=CDBCCDBC11=17173,θ=arccos17173.异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos1717318.[解]原方程化简为iizzz1)(2,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-21且y=±23,∴原方程的解是z=-21±23i.19.[解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x,y),则AP={x+6,y},FP={x－4,y},由已知可得1203622yx(x+6)(x－4)+y2=0则2x2+9x－18=0,x=23或x=－6.由于y0,只能x=23,于是y=235.∴点P的坐标是(23,235)(2)直线AP的方程是x－3y+6=0.设点M(m,0),则M到直线AP的距离是26m.于是26m=6m,又－6≤m≤6,解得m=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有d2=(x－2)2+y2=x－4x2+4+20－95x2=94(x－29)2+15,由于－6≤m≤6,∴当x=29时,d取得最小值1520.[解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+502)1(nn=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10.到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.由题意可知an0.85bn,有250+(n-1)·50400·(1.08)n-1·0.85.由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21.[解](1)h(x)=12xxx∈(-∞,1)∪(1,+∞)1x=1(2)当x≠1时,h(x)=12xx=x-1+11x+2,若x1时,则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立若x1时,则h(x)≤0,其中等号当x=0时成立∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=4则g(x)=f(x+α)=sin2(x+4)+cos2(x+4)=cos2x-sin2x,于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x,α=2,g(x)=f(x+α)=1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,于是h(x)=f(x)·f(x+α)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=cos4x.22..[解](1)设点A0(x,y),A0为P1关于点的对称点A0的坐标为(2-x,4-y),A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y),∴20AA={2,4}.(2)∵20AA={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是x2-x=2,y2-y=4,若3x2≤6,则0x2-3≤3,于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当1x≤4时,则3x2≤6,y+4=lg(x-1).∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)nAA0=nnAAAAAA24220,由于kkkkPPAA2122222,得nAA0=2(nnPPPPPP14321)=2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1})=2{2n,3)12(2n}={n,3)12(4n}