不等式证明测试卷

典型例题一例1若10x，证明)1(log)1(logxxaa（0a且1a）．分析1用作差法来证明．需分为1a和10a两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．解法1（1）当1a时，因为11,110xx，所以)1(log)1(logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa．（2）当10a时，因为11,110xx所以)1(log)1(logxxaa)1(log)1(logxxaa0)1(log2xa．综合（1）（2）知)1(log)1(logxxaa．分析2直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2作差比较法．因为)1(log)1(logxxaaaxaxlg)1lg(lg)1lg()1lg()1lg(lg1xxa)1lg()1lg(lg1xxa0)1lg(lg12xa，所以)1(log)1(logxxaa．说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二例2设0ba，求证：.abbababa分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：baabbaabbababababa)(∵0ba，∴.0,1baba∴1)(baba.∴abbababa.1又∵0abba，∴.abbababa.说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三例3对于任意实数a、b，求证444()22abab（当且仅当ab时取等号）分析这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2ab，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：222abab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明：∵222abab（当且仅当22ab时取等号）两边同加4444222():2()()ababab，即：44222()22abab（1）又：∵222abab（当且仅当ab时取等号）两边同加22222():2()()ababab∴222()22abab∴2224()()22abab（2）由（1）和（2）可得444()22abab（当且仅当ab时取等号）．说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．典型例题四例4已知a、b、cR，1abc，求证1119.abc分析显然这个题用比较法是不易证出的。若把111abc通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如baab，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．证明：∵1abc∴111abcabcabcabcabc(1)(1)(1)bcacabaabbcc3()()()bacacbabacbc∵22babaabab，同理：2caac，2cbbc。∴11132229.abc说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．典型例题五例５已知cba，求证：accbba111＞0.分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：(分析法书写过程)为了证明accbba111＞0只需要证明cbba11＞ca1∵cba∴0,0cbbaca∴cbcaba1,11＞0∴cbba11＞ca1成立∴accbba111＞0成立证明二：(综合法书写过程)∵cba∴0,0cbbaca∴ba1＞ca1cb1＞0∴cbba11＞ca1成立∴accbba111＞0成立说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.典型例题六例6若0,0ab，且2cab，求证：22.ccabaccab分析这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．证明：为要证22.ccabaccab只需证22cabaccab，即证2accab，也就是22()accab，即证22aacab，即证2()acaab，∵0,2,0acabb，∴2abcab，故2cab即有20cab，又由2cab可得2()acaab成立，∴所求不等式22ccabaccab成立．说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．典型例题七例7若233ba，求证2ba．分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．证法一：假设2ba，则)(2))((222233babababababa，而233ba，故1)(22baba．∴abbaab2122．从而1ab，∴2122abba．∴4222)(222ababbaba．∴2ba．这与假设矛盾，故2ba．证法二：假设2ba，则ba2，故3333)2(2bbba，即261282bb，即0)1(2b，这不可能．从而2ba．证法三：假设2ba，则8)(3)(333baabbaba．由233ba，得6)(3baab，故2)(baab．又2))((2233babababa，∴))(()(22babababaab．∴abbaba22，即0)(2ba．这不可能，故2ba．说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．典型例题八例8设x、y为正数，求证33322yxyx．分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．证明：要证33322yxyx，只需证233322)()(yxyx，即证6336642246233yyxxyyxyxx，化简得334224233yxyxyx，0)323(2222yxyxyx．∵0334422yy，∴032322yxyx．∴0)323(2222yxyxyx．∴原不等式成立．说明：1．本题证明易出现以下错误证法：xyyx222，323233332yxyx，然后分(1)1yx；(2)1yx；(3)1x且10y；(4)1y且10x来讨论，结果无效．2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是BA，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．典型例题九例9已知2122yx，求证32122yxyx．分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数r．∵2122yx，∴可设cosrx，sinry，其中2021，r．∴)2sin211(cossin22222rrryxyx．由232sin21121，故22223)2sin211(21rrr．而21212r，3232r，故32122yxyx．说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为222ryx或222ryx或12222byax时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．典型例题十例10设n是正整数，求证121211121nnn．分析：要求一个n项分式nnn212111的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．证明：由),,2,1(2nknknn，得nknn1121．当1k时，nnn11121；当2k时，nnn12121……当nk时，nnnn1121．∴1212111221nnnnnnn．说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222n．由kkk11112，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．典型例题十一例11已知0ba，求证：bbaabbaaba8)(28)(22．分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．证明：欲证bbaabbaaba8)(28)(22，只须证bbaabbaaba4)(24)(22．即要证2222)(2bbabaaba，即要证bbabaaba22．即要证bbaaba212，即要证bbaaba2．即要证121baab，即baab1．即要证baab1（*）∵0ba，∴（*）显然成立，故bbaabbaaba8)(28)(22说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证——只要证——即证——已知”的格式．典型例题十二例12如果x，y，zR，求证：332332332888yxzxzyzyxzyx．分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由0)()()(222accbba，易得cabcabcba222，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．证明：∵242424888)()()(zyxzyx444444xzxyyx222222222)()()(xzzyyx222222222222yxxzxzzyzyyx222222)()()(yzxxyzzxyzxyyzxyzxxyzxyzzxy222222332332332yxzxzyzyx．∴332332332888yxzxzyzyxzyx．说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式abba222而得到的．左右两边都是三项，实质上是cabcabcba222