垂直关系专题训练1.(06江西卷)如图,在三棱锥A-BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=3,BD=CD=1,另一个侧面是正三角形,求证:ADBC2.(05辽宁卷)已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,△ABC,△PEF都是正三角形,PF⊥AB.证明PC⊥平面PAB3.在正方体ABCD—A1B1C1D1,G为CC1的中点,O为底面ABCD的中心。求证:A1O⊥平面GBD4.已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=900,∠BAC=300,BC=1,AA1=6,M为CC1中点,求证:AB1⊥A1M。5.已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F(1)求证:AF⊥SCACBPFE(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1A的中点,N在AB上,且AN∶NB=1∶3,求证:C1M⊥MN.7.正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中,AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1.8.如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=6,M是CC1的中点,求证:AB1⊥A1M.9.(06天津)如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱12EFBC∥.(I)证明FO∥平面;CDE(II)设3,BCCD证明EO平面.CDF10.(06福建卷)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,2,2.CACBCDBDABAD(I)求证:AO平面BCD;(II)求点E到平面ACD的距离。11.(05广东卷)如图3所示,在四面体ABCP中,已知6BCPA,342,8,10PBACABPC.F是线段PB上一点,341715CF,点E在线段AB上,且PBEF.证明:CEFPB平面;CADBOEACBPFE图312.(05福建卷)如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(Ⅰ)求证AE⊥平面BCE;(Ⅲ)求点D到平面ACE的距离.13.(04福建)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=23,M、N分别为AB、SB的中点.(Ⅰ)证明:AC⊥SB;(Ⅱ)求点B到平面CMN的距离.14.(04全国Ⅱ)如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D,B1C1的中点为M.求证CD⊥平面BDM;15.(04全国Ⅲ)三棱锥ABCP中,侧面PAC与底面ABC垂直,3PAPBPC,求证:BCAB;1.解:作AH面BCD于H,连DH。ABBDHBBD,又AD=3,BD=1AB=2=BC=ACBDDC又BD=CD,则BHCD是正方形,则DHBCADBC方法二:取BC的中点O,连AO、DO则有AOBC,DOBC,BC面AODBCAD2.证明:连结CF.ACBCEFPE2121,∴PCAPABPFABCF,,∴AB平面PCF,PCFPC平面,∴ABPC∴PC平面PABPABC3.(I)证明:取CD中点M,连结OM。在矩形ABCD中,1,2OMBC∥又1,2EFBC∥则.EFOM∥连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形。FO∥EM.又FO平面CDE,且EM平面CDE,FO∥平面CDE。(II)证明:连结FM。由(I)和已知条件,在等边CDE中,,CMDMEMCD且31.22EMCDBCEF因此平行四边形EFOM为菱形,从而EOFM。,,CDOMCDEMCD平面EOM,从而.CDEO而,FMCDM所以EO平面.CDF4.解析:因结论是线线垂直,可考虑用三垂线定理或逆定理∵∠ACB=900∴∠A1C1B1=900即B1C1⊥C1A1又由CC1⊥平面A1B1C1得:CC1⊥B1C1∴B1C1⊥平面AA1C1C∴AC1为AB1在平面AA1C1C的射影由三垂线定理,下证AC1⊥A1M即可在矩形AA1C1C中,AC=A1C1=3,AA1=CC1=6∵22326ACMC111,2263AACA111∴AACAACMC111111ABCDA1B1C1D1∴Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1∴∠1=∠2又∠2+∠3=900∴∠1+∠3=900∴AC1⊥A1M∴AB1⊥A1M5.证明(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC∵矩形ABCD,∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2)∵SA⊥平面AC∴SA⊥DC,又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF∴SC⊥AG∴AG⊥平面SDC∴AG⊥SD6.证明1设正方体的棱长为a,则MN=a45,C1M=aaaa23)2(222,C1N=aaaa441)43(222,∵MN2+MC12=NC12,∴C1M⊥MN.证明2连结B1M,∵C1B1⊥平面A1ABB1,∴B1M为C1M在平面A1ABB1上的射影.设棱长为a,∵AN=a41,AM=a21,∴tan∠AMN=21,又tan∠A1B1M=21,则∠AMN=∠A1B1M,∴B1M⊥MN,由三垂线定理知,C1M⊥MN.7.如图,取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B,易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1,从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C.8.解析:因结论是线线垂直,可考虑用三垂线定理或逆定理∵∠ACB=900∴∠A1C1B1=900即B1C1⊥C1A1又由CC1⊥平面A1B1C1得:CC1⊥B1C1∴B1C1⊥平面AA1C1C∴AC1为AB1在平面AA1C1C的射影由三垂线定理,下证AC1⊥A1M即可在矩形AA1C1C中,AC=A1C1=3,AA1=CC1=6∵22326ACMC111,2263AACA111∴AACAACMC111111∴Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1∴∠1=∠2又∠2+∠3=900∴∠1+∠3=900∴AC1⊥A1M∴AB1⊥A1M9.⑴证明:取AC中点O,连结PO、BO.∵PA=PC∴PO⊥AC又∵侧面PAC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又PA=PB=PC∴AO=BO=CO∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BCMOABCPN10.(I)证明:连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中,由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD(II)解:设点E到平面ACD的距离为.h,11....33EACDACDEACDCDEVVhSAOS在ACD中,2,2,CACDAD2212722().222ACDS而21331,2,242CDEAOS31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.711.证明:在ABC中,∵,6,10,8BCABAC∴,222ABBCAC∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,同理可证,△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形.在PCBRt中,∵,341715,342,6,10CFPBBCPC∴,CFPBBCPC∴,CFPB又∵,,FCFEFPBEF∴.CEFPB平面12.解法一:(Ⅰ)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE(Ⅱ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,∵DACEEACDVV,∴1133ACEACDShSEO.∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=1122123221132622ADBCEOAEEC.∴点D点D到平面ACE的距离为233.13.(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB.(Ⅱ)在Rt△NEF中,NF=22ENEF=23,∴S△CMN=21CM·NF=233,S△CMB=21BM·CM=23.设点B到平面CMN的距离为h,∵VB-CMN=VN-CMB,NE⊥平面CMB,∴31S△CMN·h=31S△CMB·NE,∴h=CMNCMBSNES=324.即点B到平面CMN的距离为324.14.(Ⅰ)如图,连结CA1、AC1、CM,则CA1=.2∵CB=CA1=2,∴△CBA1为等腰三角形,又知D为其底边A1B的中点,∴CD⊥A1B.∵A1C1=1,C1B1=2,∴A1B1=3又BB1=1,A1B=2.∵△A1CB为直角三角形,D为A1B的中点,∴CD=21A1B=1,CD=CC1,又DM=21AC1=22,DM=C1M.∴△CDM≌△CC1M,∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线,所以CD⊥平面BDM.15.证明:取AC中点O,连结PO、BO.∵PA=PC∴PO⊥AC又∵侧面PAC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又PA=PB=PC∴AO=BO=CO∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BCMOABCPN