垂直关系专题训练

垂直关系专题训练1．（06江西卷）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形，求证：ADBC2．（05辽宁卷）已知三棱锥Ｐ－ABC中，Ｅ、Ｆ分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．证明PC⊥平面PAB3.在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O⊥平面GBD4.已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=900，∠BAC=300，BC=1，AA1=6，M为CC1中点，求证：AB1⊥A1M。5.已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F(1)求证：AF⊥SCACBPFE(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且AN∶NB＝１∶３，求证：C1M⊥MN．7．正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1.8．如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.9．（06天津）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱12EFBC∥.（I）证明FO∥平面;CDE（II）设3,BCCD证明EO平面.CDF10．（06福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，2,2.CACBCDBDABAD（I）求证：AO平面BCD；（II）求点E到平面ACD的距离。11．（05广东卷）如图3所示，在四面体ABCP中，已知6BCPA，342,8,10PBACABPC．F是线段PB上一点，341715CF，点E在线段AB上，且PBEF．证明：ＣＥFPB平面；CADBOEACBPFE图312．（05福建卷）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.13.（04福建）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求点B到平面CMN的距离.14．（04全国Ⅱ）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.求证CD⊥平面BDM；15．（04全国Ⅲ）三棱锥ABCP中，侧面PAC与底面ABC垂直，3PAPBPC，求证：BCAB；1．解：作AH面BCD于H，连DH。ABBDHBBD，又AD＝3，BD＝1AB＝2＝BC＝ACBDDC又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DHBCADBC方法二：取BC的中点O，连AO、DO则有AOBC，DOBC，BC面AODBCAD2．证明：连结CF.ACBCEFPE2121，∴PCAPABPFABCF,，∴AB平面PCF，PCFPC平面，∴ABPC∴PC平面PABPABC3．（I）证明：取CD中点M，连结OM。在矩形ABCD中，1,2OMBC∥又1,2EFBC∥则.EFOM∥连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。FO∥EM.又FO平面CDE，且EM平面CDE，FO∥平面CDE。（II）证明：连结FM。由（I）和已知条件，在等边CDE中，,CMDMEMCD且31.22EMCDBCEF因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM。,,CDOMCDEMCD平面EOM，从而.CDEO而,FMCDM所以EO平面.CDF4.解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理∵∠ACB=900∴∠A1C1B1=900即B1C1⊥C1A1又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1∴B1C1⊥平面AA1C1C∴AC1为AB1在平面AA1C1C的射影由三垂线定理，下证AC1⊥A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=3，AA1=CC1=6∵22326ACMC111，2263AACA111∴AACAACMC111111ABCDA1B1C1D1∴Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1∴∠1=∠2又∠2+∠3=900∴∠1+∠3=900∴AC1⊥A1M∴AB1⊥A1M5．证明(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC∵矩形ABCD，∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2)∵SA⊥平面AC∴SA⊥DC，又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF∴SC⊥AG∴AG⊥平面SDC∴AG⊥SD6．证明１设正方体的棱长为ａ，则MN＝a45，C1M＝aaaa23)2(222，C1N＝aaaa441)43(222，∵MN２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN．证明２连结B1M，∵C1B1⊥平面A1ABB1，∴B1M为C1M在平面A1ABB1上的射影．设棱长为a，∵AN＝a41，AM＝a21，∴tan∠AMN＝21，又tan∠A1B1M＝21，则∠AMN＝∠A1B1M，∴B1M⊥MN，由三垂线定理知，C1M⊥MN．7．如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1，从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C.8．解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理∵∠ACB=900∴∠A1C1B1=900即B1C1⊥C1A1又由CC1⊥平面A1B1C1得：CC1⊥B1C1∴B1C1⊥平面AA1C1C∴AC1为AB1在平面AA1C1C的射影由三垂线定理，下证AC1⊥A1M即可在矩形AA1C1C中，AC=A1C1=3，AA1=CC1=6∵22326ACMC111，2263AACA111∴AACAACMC111111∴Rt△A1C1M∽Rt△AA1C1∴∠1=∠2又∠2+∠3=900∴∠1+∠3=900∴AC1⊥A1M∴AB1⊥A1M9．⑴证明：取AC中点O,连结PO、BO.∵PA＝PC∴PO⊥AC又∵侧面PAC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又PA＝PB＝PC∴AO＝BO＝CO∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BCMOABCPN10．（I）证明：连结OC,,.BODOABADAOBD,,.BODOBCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCD（II）解：设点E到平面ACD的距离为.h,11....33EACDACDEACDCDEVVhSAOS在ACD中，2,2,CACDAD2212722().222ACDS而21331,2,242CDEAOS31.212.772CDEACDAOShS点E到平面ACD的距离为21.711．证明：在ABC中，∵,6,10,8BCABAC∴,222ABBCAC∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．在PCBRt中，∵,341715,342,6,10CFPBBCPC∴,CFPBBCPC∴,CFPB又∵,,FCFEFPBEF∴.CEFPB平面12．解法一：(Ⅰ)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,∵二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,∴CB⊥平面ABE,∴CB⊥AE,∴AE⊥平面BCE(Ⅱ)过E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,∵二面角D-AB-E为直二面角,∴EO⊥平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,∵DACEEACDVV,∴1133ACEACDShSEO.∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=1122123221132622ADBCEOAEEC.∴点D点D到平面ACE的距离为233.13．（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）在Rt△NEF中，NF=22ENEF=23，∴S△CMN=21CM·NF=233，S△CMB=21BM·CM=23.设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴31S△CMN·h=31S△CMB·NE，∴h=CMNCMBSNES=324.即点B到平面CMN的距离为324.14．（Ⅰ）如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=.2∵CB=CA1=2，∴△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=2，∴A1B1=3又BB1=1，A1B=2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，∴CD=21A1B=1，CD=CC1，又DM=21AC1=22，DM=C1M.∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.因为A1B、DM为平在BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM.15．证明：取AC中点O,连结PO、BO.∵PA＝PC∴PO⊥AC又∵侧面PAC⊥底面ABC∴PO⊥底面ABC又PA＝PB＝PC∴AO＝BO＝CO∴△ABC为直角三角形∴AB⊥BCMOABCPN