第3章第2节时间分集

第3章点对点通信：检测、分集与信道的不可靠第2节时间分集时间分集„可通过跨不同的相干时间周期的符号交织和编码，在时间上平均信道衰落，得到时间分集。„单进行编码还不够充分！„原因：深衰落、较长时间的人为干扰、以及大自然突发噪声，造成较长的突发差错，仅靠编码技术较难消除这样的差错。„为确保发送的已编码符号之间经历独立或者接近独立的衰落，需进行码字交织。交织编码„交织目的：把一个较长的突发差错离散成随机差错，以便利用具有纠正随机差错的编码技术消除差错。„交织编码设计：„交织器的深度必须足够大，以使接收码字中的衰落呈现独立性。交织深度越大，抗突发差错能力越强。„交织编码是一种时间分集形式，其性能可用误码率的分集阶数来衡量（一般是最小汉明距离的函数），故其设计应使分集阶数最大化（即使汉明距离最大）。„对于真正的最大似然（ML）译码，衰落信道的相关性包含了有用的信息，交织编码丢弃了这个信息，潜在降低了信道容量所以交织编码并非最优的交织器原理1239101156712391011567按行读入交织器按列读出按行读出按列读入1,5,9,2,6,10,3,7,11,4,8,121,5,9,2,6,10,3,7,11,4,8,121,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12信道时延大、复杂度高412841281个码字•慢衰落时所需交织深度要更大些，因为通常此时传输高速率数据。例如，Ds=10Hz，比特速率=10Mb/s，突发差错长度=330,000bits。交织器结构„交织器可以看出是一个d行n列的缓冲区，其中：„d代表交织深度；„n代表交织跨度；„交织器长度为dn个符号。dn交织时延„交织器扰乱了输入符号流，把连续的突发差错扩散到许多码字（Codeword）上：„使码字间的符号分开间隔为：dTsTc，即dTc/Ts„每个码字可纠正少数几个随机差错。„在二维各向同性的散射环境中，被半波长分割的两个不同位置上的衰落几乎不相关。若用相对于基站以速度v移动的移动台来接收信号，那么与一个符号周期Ts相对应的空间距离为vT。所以我们应使dvTsλ/2。„例如，对于900MHz载波，d0.6Rs/v。„解码必须等完全解交织后进行：„交织导致的时延与Tc成正比，粗略为：ndTs≈nTc。时间分集分析„为了简单，考虑在平坦衰落信道上发送一个长度为L的码字x=[x1,x2,…,xL]t，且接收信号为：„假设交织为理想的，使发送的连续符号xl的时间间隔充分远，故可假设hl独立。参数L一般称为分集分支数。„加性噪声w1,w2,…,wL为i.i.d.CN(0,N0)随机变量。Llwxhyllll,,1,L=+=码字交织图示最简单编码：重复码„最简单的编码是重复码，其中对于l=1,…,L有xl=x1。用矢量形式，整个信道变成：„式中y=[y1,y2,…,yL]t，h=[h1,h2,…,hL]t，w=[w1,w2,…,wL]t。„考虑x1的相干检测，即接收机已知信道增益。此为白高斯噪声中典型的矢量检测问题。充分统计量为标量：„接收机结构为一个匹配滤波器，也称为最大比合并器或相干合并。„在每个分支上用接收信号的比例来加权接收信号并校正信号的相位，求和后使输出SNR最大。why+=1xwhhhyhh*1*+=x几何表示„对于BPSK调制，x1=±a，则：uA=+ah，uB=−ah„匹配滤波输出的充分统计量为：„因而简化为标量检测问题：wxy~~+=hyhh*~=y高斯检测续1„可精确地得到对应于条件h的差错概率：„其中SNR=a2/N0为每个（复数）符号周期的平均接收信噪比，而||h||2SNR为给定信道矢量h的接收SNR。„通过在||h||2上进行平均来求全部的差错概率。在每个增益hl均为i.i.d.CN(0,1)的瑞利衰落下，为2L个独立实高斯随机变量的平方和，每项|hl|2均为hl的实部和虚部的平方和：„它是一个具有2L个自由度的卡方（χ2）分布，其密度为：⎟⎠⎞⎜⎝⎛SNR22hQ∑==Lllh122h()0,)!1(11−=−−xexLxfxL续2„平均差错概率为：„式中：„在高SNR时：„特别之处是差错概率随SNR的L次幂减小，相应的差错概率曲线的斜率为−L（单位是dB/dB）。()()lLlLellLxxfxQp⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∑∫−=∞21121dSNR2100μμSNR1SNR:+=μ()LeLLpSNR4112⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−≈差错概率性能深衰落事件的发生概率说明„在高SNR时，典型的出错事件发生在全部的信道增益很小时：„前面一幅图绘出了对于不同的L值||h||2的分布；很清楚分布曲线的尾部接近于0并随L的增大而增大。„对于小的x，||h||2的概率密度函数近似为：()1)!1(1−−≈LxLxf}SNR1{2hP续„且：„基本上，差错发生在与1/SNR相当或更小时，而这仅当所有增益|hl|2的幅度都很小，与1/SNR相当时，才会发生。由于每个|hl|2都小于1/SNR的概率近似为1/SNR，且它们相互独立，故全部增益都小的概率为1/SNRL量级。„称L为系统的分集增益。LLLxxLPSNR1!1d)!1(1}SNR1{SNR1012∫=−≈−h∑=Lllh12重复码的问题„重复码获得了全部分集增益，但在每L个符号周期只发送了1个符号。没有开发利用信道中的全部自由度。（如同：PAMvsQAM）„例如L=2的情况，重复码重复发送BPSK符号u=±a两次得到分集增益为2，但只在2个符号周期上传送了1比特信息。„在两个符号周期上发送两个独立的BPSK符号u1、u2，将更有效地利用可用自由度，但就不能提供分集增益：无论何时当两个信道增益h1、h2中的一个处于深衰落状态就会出错。„如何做到更好？„通过应用更复杂的编码，可以在获得分集增益后再获得编码增益。举例：旋转码（L=2）„为了获得分集与编码两种好处，在两个符号周期上发射矢量：„其中旋转矩阵（对于θ∈(0,2π)）：„此码有4个码字：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21uuRx⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=θθθθcossinsincos:R⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=aaaaaaaaDCBARxRxRxRx,,,接收性能„接收信号为：„由于码字对称，故不失一般性可假设发射的是xA，则差错概率的联合界为：„式中P{xA→xB}是当发射xA且只有两种假设时xA与xB搞混的成对出错的概率。这是在信道增益h1和h2条件下的二元检测问题。2,1,=+=lwxhyllll{}{}{}DACABAePPPpxxxxxx→+→+→≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22112211,BBBAAAxhxhxhxhuu与续„式中SNR=a2/N0，且：为归一化的码字间差距，即d1和d2为码字间两个方向的距离。()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−=θθsin2cos21:BAaxxd⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−≤≤⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=→−4)SNR(exp)(2)SNR(22},{222221212222221210212dhdhexQdhdhQNQhhPxBABA）（由uuxx平均差错概率„在假设的独立瑞利信道上关于h1和h2求平均，得：„这里应用了单位平均指数随机变量X的瞬时生成函数为E[esX]=1/(1–s)，s0。„在高SNR时：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−≤→4SNR114SNR114)SNR(exp}{222122222121dddhdhEPBAxx{}2221SNR16−≤→ddPBAxx平方积距离„在每个符号周期内码字的平均能量归一化为1时称δAB:=|d1d2|2为xA与xB之间的平方积距离。„平方积距离决定了两个码字之间成对出错的概率。„同样可定义δij是xi与xj之间的平方积距离，i,j=A,B,C,D。„选择旋转角度使对所有其它码字的最小平方距离最大。全部差错概率的界„可见：„只要对于所有的i和j，δij0，就可得到分集增益为2。„最小平方积距离minj=B,C,DδAj则决定了方案在获得分集增益后获得的编码增益。此参数取决于θ，并且可通过对θ优化得到最大的编码增益：„选使最小平方积距离最大的θ*使得δAB=δAC，得θ*=(1/2)tan-12以及minδij=16/5。„全部差错概率的界则变成：2,,2SNRmin48SNR11116−=−≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++≤AjDCBjADACABePδδδδ2SNR15−≤ep旋转码vs重复码说明„对于4–PAM调制星座，每个符号周期内的平均SNR=5b2/N0，且归一化的相邻码字之间码元的差距d1=d2=，因此重复码的最小平方积距离为16/25。„前面得到旋转码的最小平方积距离为16/5。„因为在两种情况中差错概率都与SNR–2成比例，故可得出结论：旋转码在重复码之上提高了编码增益，对于相同的乘积距离可节省发射功率倍（3.5dB）。„此提高来自于全部乘积距离的提高，且这是由于码字被扩展到了2–维空间而不是像重复码那样把它们包在一维线上。这与QPSK比BPSK更有效是同样的原因。52时间分集编码设计准则„理想的时间交织信道：„其中hl为i.i.d.CN(0,1)瑞利衰落信道增益。„x1,x2,…,xM为码块长度L的时间分集编码的码字，归一化使得：„全部差错概率的联合界为：„式中xil为码字xi的第l个码元，且SNR:=1/N0。Llwxhyllll,,1,L=+=1112=∑=MiiMLx∑∏≠=−+≤jiLljlilexxMp124SNR111续„令Lij为码字xi与xj之间不同的码元数，则码字的分集增益为。„若对于所有的i≠j，Lij=L，则码字实现了全部的信道分集L，且：„式中为xi与xj之间的平方积距离。ijjiL≠min()LjiijjiLLijLeMMp−≠≠−∑−≤≤SNRmin14SNR14δδ∏=−=Lljlilijxx12:δ补充说明„前面讨论的旋转码是特别为在衰落信道中开发利用时间分集而设计。然而在AWGN信道中，星座旋转不会影响性能，因为i.i.d.高斯噪声对于旋转是不变的。„前面的编码设计准则是在假设符号经历i.i.d.瑞利衰落下得到的，这可被一般化到编码符号经历相关信道衰落的情况，也可以一般化到莱斯衰落的情况。不过这些编码设计准则都依赖于假设的特定信道统计特性。续„为AWGN信道设计的编码，如线性分组码和卷积码，当联合了交织技术后，也可用于在衰落信道获取时间分集。它们的性能可用上述一般的框架来分析。例如：„码元理想交织的二元分组码的分集增益可简化为码字间的最小汉明距离或等效为码字的最小重量；„二元卷积码的分集增益由作为卷积码序列最小重量的码字自由距离给出。举例：GSM说明„GSM是频分双工（FDD）系统，使用两个25MHz带宽，一个用于上行链路（移动台到基站），一个用于下行链路（基站到移动台）。„最初分配给GSM的频带是890～915MHz（上行）和935～960MHz（下行）。„频带进一步被划分成200kHz子信道；„每个子信道为8个用户以时分的形式共享（时分多址接入—TDMA）。„每个用户的数据在长度577微秒（μs）的时隙上发送，8个用户的时隙共同构成一个长度4.65ms的帧。GSM交织器结构说明„为了实现时间分集，编码后的465个语音比特跨分配给某特定用户的8个连续时隙进行交织：„第0个、第8个、…、第448个比特放进第一帧，„第1个、第9个、…、第449个比特放进第二帧，等等。„由于每个用户的一个时隙每4.65ms出现一次，因此要解交织需要延时约40ms，该时延对语音来说是可以容忍的。续„最大的可能时间分集增益为8，但实际可得的增益取决于信道的变化有多快，即主要取决于运动速度。„若运动速度为v，则最大的可能多普勒扩展（假设环境中充满散射）为：Ds=2fcv/c，其中fc为载波频率，c为光速。„相干时间粗略地为：Tc=1/(4Ds)=c/(8fcv)。„对于信道衰落或多或少独立于一个用户的不同时隙，相