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1.3平面向量与复数专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理1)(2011全国,理10)(2012全国,理3)(2012全国,理13)(2013全国Ⅰ,理2)(2013全国Ⅰ,理13)(2013全国Ⅱ,理2)(2013全国Ⅱ,理13)(2014全国Ⅰ,理2)(2014全国Ⅰ,理15)(2014全国Ⅱ,理2)(2014全国Ⅱ,理3)(2015全国Ⅰ,理1)(2015全国Ⅰ,理7)(2015全国Ⅱ,理2)(2015全国Ⅱ,理13)选择题填空题平面向量和复数是高考命题的热点内容,每年都命题考查.对向量考查的重点内容有:向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则、两向量的数量积、向量共线与垂直的条件,考查的热点是两向量的数量积.对复数考查的重点内容有:复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.复习备考时应抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是平面向量的线性运算;平面向量数量积的运算;平面向量的垂直与夹角问题;复数的基本概念及复数的乘除运算;复数的几何意义.专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五平面向量的线性运算【思考】向量线性运算的解题策略有哪些?例1(1)在△ABC中,N是AC边上一点且𝐴𝑁=12𝑁𝐶,P是BN上一点,若𝐴𝑃=m𝐴𝐵+29𝐴𝐶,则实数m的值是.(2)已知A,B,C为圆O上的三点,若𝐴𝑂=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶),则𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为.答案解析解析关闭(1)如图,设𝐵𝑃=λ𝐵𝑁,则𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝐵𝑃=𝐴𝐵+λ𝐵𝑁=𝐴𝐵+λ(𝐴𝑁−𝐴𝐵)=𝐴𝐵+λ13𝐴𝐶-𝐴𝐵=(1-λ)𝐴𝐵+𝜆3𝐴𝐶.因为𝜆3=29,所以λ=23,所以1-λ=13,故m=13.(2)由𝐴𝑂=12(𝐴𝐵+𝐴𝐶),得𝐴𝐵+𝐴𝐶=2𝐴𝑂.因为AO是半径,连接AO并延长交圆于点D,则2|AO|=|AD|(直径),也就是|𝐴𝐵+𝐴𝐶|=|𝐴𝐷|,即四边形ABDC是一个圆内接的平行四边形,且以直径为对角线,所以必定是一个矩形,得𝐴𝐵与𝐴𝐶的夹角为90°.答案解析关闭(1)13(2)90°专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-题后反思向量线性运算有两条基本的解题策略:一是共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则;二是找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-对点训练1(2015全国Ⅰ高考)设D为△ABC所在平面内一点,𝐵𝐶=3𝐶𝐷,则()A.𝐴𝐷=-13𝐴𝐵+43𝐴𝐶B.𝐴𝐷=13𝐴𝐵−43𝐴𝐶C.𝐴𝐷=43𝐴𝐵+13𝐴𝐶D.𝐴𝐷=43𝐴𝐵−13𝐴𝐶答案解析解析关闭如图:∵𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷,𝐵𝐶=3𝐶𝐷,∴𝐴𝐷=𝐴𝐵+43𝐵𝐶=𝐴𝐵+43(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=-13𝐴𝐵+43𝐴𝐶.答案解析关闭A命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-平面向量数量积的运算【思考】求平面向量数量积有哪些方法?例2(1)若向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()A.1B.2C.3D.5(2)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,𝐶𝑃=3𝑃𝐷,𝐴𝑃·𝐵𝑃=2,则𝐴𝐵·𝐴𝐷的值是.答案解析解析关闭(1)∵|a+b|2-|a-b|2=4a·b=4,∴a·b=1.(2)𝐴𝑃·𝐵𝑃=(𝐴𝐷+𝐷𝑃)·(𝐵𝐶+𝐶𝑃)=𝐴𝐷+14𝐴𝐵·𝐴𝐷-34𝐴𝐵=𝐴𝐷2−12𝐴𝐷·𝐴𝐵−316𝐴𝐵2,即2=25-12𝐴𝐷·𝐴𝐵−316×64,解得𝐴𝐷·𝐴𝐵=22.答案解析关闭(1)A(2)22命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-题后反思平面向量数量积的计算方法:(1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解.(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)对于向量数量积与线性运算的综合问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-对点训练2(1)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=()A.-2B.-1C.1D.2(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则𝐴𝐸·𝐵𝐷=.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五答案：(1)D(2)2专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五解析:(1)(方法一)由已知,得c=(m+4,2m+2).因为cosc,a=𝑐·𝑎|𝑐||𝑎|,cosc,b=𝑐·𝑏|𝑐||𝑏|,所以𝑐·𝑎|𝑐||𝑎|=𝑐·𝑏|𝑐||𝑏|.由已知,得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.(方法二)易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知,得|b|=2|a|,故m=2.专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五(2)(方法一)以{𝐴𝐵,𝐴𝐷}为基底,则𝐴𝐵·𝐴𝐷=0,而𝐴𝐸=12𝐴𝐵+𝐴𝐷,𝐵𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐵,∴𝐴𝐸·𝐵𝐷=12𝐴𝐵+𝐴𝐷·(𝐴𝐷−𝐴𝐵)=-12|𝐴𝐵|2+|𝐴𝐷|2=-12×22+22=2.(方法二)以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,2),点E的坐标为(1,2),则𝐴𝐸=(1,2),𝐵𝐷=(-2,2),故𝐴𝐸·𝐵𝐷=2.专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-平面向量的垂直与夹角问题【思考】如何求两个向量的夹角?例3(1)已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),且向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为.(2)若a,b,c是单位向量,且a=b+c,则向量a,b的夹角等于.答案解析解析关闭(1)由条件知|a|=13,|b|=1,a·b=3.因为λa+b与a-2b垂直,所以(λa+b)·(a-2b)=0,即λa2-2b2+(1-2λ)a·b=0,于是13λ-2+(1-2λ)×3=0,解得λ=-17.(2)a,b,c是单位向量,模都为1,由a=b+c,得a-b=c,所以(a-b)2=c2,即a2+b2-2a·b=c2,得a·b=12.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cosθ=12,即cosθ=12,故θ=π3.答案解析关闭(1)-17(2)π3命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五题后反思1.求夹角大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.2.确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线两向量的夹角为钝角.专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-对点训练3已知e1,e2是夹角为2π3的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a⊥b,则实数k的值为.答案解析解析关闭由题得|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos2π3=-12.因为a⊥b,所以a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=k|e1|2+(1-2k)e1·e2-2|e2|2=k+2𝑘-12-2=0,解得k=54.答案解析关闭54命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-复数的概念及运算【思考】复数运算的一般思路是怎样的?例4(1)(2015全国Ⅰ高考)设复数z满足1+𝑧1-𝑧=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2(2)𝑧是z的共轭复数,若z+𝑧=2,(z-𝑧)i=2(i为虚数单位),则z=()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案解析解析关闭(1)∵1+𝑧1-𝑧=i,∴z=i-1i+1=(i-1)(-i+1)(i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.(2)设z=a+bi(a,b∈R),则𝑧=a-bi.由题意知,𝑧+𝑧=2𝑎=2,(𝑧-𝑧)i=-2𝑏=2,解得𝑎=1,𝑏=-1,故z=1-i.答案解析关闭(1)A(2)D命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-题后反思利用复数的四则运算求复数的一般思路:(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可;(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简;(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-对点训练4(2015全国Ⅱ高考)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案解析解析关闭∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴4𝑎=0,𝑎2-4=-4,解得a=0.答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-复数的几何表示【思考1】如何判断复数在复平面上的位置?例5已知复数z=2-i1+i,则𝑧在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案解析解析关闭z=2-i1+i=(2-i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-3i2=12−32i,从而𝑧=12+32i,因此𝑧在复平面内对应的点在第一象限.答案解析关闭A命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-题后反思判断复数对应的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五专题一1.3平面向量与复数考情分析高频考点核心归纳高频考点-19-对点训练5复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案解析解析关闭因为(-1+i)z=(1+i)2,所以z=2i-1+i=2i(-1-i)(-1+i)(-1-i)=2(1-i