高考第一轮复习数学排列、组合和二项式定理(附答案)

素质能力检测（4）一、填空题（每小题5分，共30分）1.（2004年东北三校模拟题）已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能.在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有12345PQA.30种B.10种C.24种D.16种解析：五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通.所以共有1+5+8+2=16种情况能使电路接通.答案：D2.（2004年湖北八校模拟题）有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有A.240种B.192种C.96种D.48种解析：我们可以这样排，首先将乙、丙绑定为一个位置，排法有A55A22种，然后将甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间，应去掉，共有A44·A22种，则符合条件的站法有A55·A22－A44·A22=192种，选B.答案：B3.（理）在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）2004的展开式中x3的系数等于A.C42004B.C42005C.2C32004D.2C32005解析：含x3的系数为C33+C34+C35+…+C32004=C42005.故选B.答案：B（文）在（2x－x2）5的展开式中x1的系数等于A.10B.－10C.20D.－20解析：本题考查二项式定理，（a+b）n中第r+1项T1r=Crn·ar·bn－r，则T1r=Cr5（2x）r·（x2）5－r=Cr5·2－r·（－2）5－r·x2r－5.由题知2r－5=－1，则r=2，则x1的系数为C25·2－2·（－2）5－2=C25×41×（－8）=－20，故选D.答案：D4.如下图，A、B、C、D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有A.8种B.12种C.16种D.20种解法一：桥梁的建设有两大类：（1）A、B、C、D四岛之间依次建桥，如AB、BC、CD一种方案，AC、CD、DB一种方案等.其建造方案共有m1=2A44=12（种）.（2）四岛中的某一岛与其他三岛之间建桥，如AB、AC、AD等其建造方案共有m2=C14=4（种）.由分类计数原理可知N=m1+m2=16（种）.解法二：把四个岛看成三棱锥的四个顶点，四棱锥有6条棱，从中选3条把A、B、C、D连起来，有C36种方法，其中共面时不合题意，则共有C36－4=16（种）.答案：C5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是A.30B.60C.120D.240解析：先将4个熟悉道路的人平均分成两组有222224ACC.再将余下的6人中分成两组有C36·C33.故有21C24·C36=60（种）.答案：B6.（2004年北京东城区模拟题）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有A.90个B.99个C.100个D.112个解析：由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）7.从1，3，5中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）解析：能被5整除的四位数的个位数只能是5或0，∴必须从1，3，5中选取5或从0，2，4，6中选取0.（1）选取0不选取5，能被5整除的四位数有C13·C22·A33=36（个）；（2）选取5不选取0，能被5整除的四位数有C12C23·A33=36（个）.（3）同时选取0和5，能被5整除的四位数有C13C12（A33+A12A22）=60（个）.∴其中能被5整除的四位数共有132个.答案：1328.有A、B、C、D、E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A、B两位学生去问成绩，教师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_____________种不同的可能.（用数字作答）解法一：A不是第一名有A44种.A不是第一名，B不是第三名有A33种.符合要求的有A44－A33=18种.解法二：第一名有3种，第二名有3种，第三名有1种，第四名有2种，第五名有1种，则完成这件事有3×3×1×2×1=18种.答案：189.若（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004（x∈R），则（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=_____________.（用数字作答）解析：在（1－2x）2004=a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004中令x=1，得a0+a1+a2+…+a2004=（1－2）2004=1，又a0=1，∴a1+a2+…+a2004=0.∴（a0+a1）+（a0+a2）+（a0+a3）+…+（a0+a2004）=2004.答案：200410.将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答）解析：分两步：第一步，先取8个球，分别放入球的标号与盒子的标号相同的盒子里有C810种放法.第二步，再将余下的2个球放入盒子里的放法有1种.由分步计数原理得C810=45.答案：45三、解答题（本大题共4小题，共54分）11.（12分）中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否则不受限制，那么不同的着装方法有多少种?ⅠⅡⅢⅣ分析：显然，相对位置（比如Ⅰ，Ⅲ）的服装颜色可以相同，也可以不同，因为它们不相邻，但它们服装颜色是否相同对另两个区域（Ⅱ，Ⅳ）的服装颜色的影响是不同的，所以考虑以此为分类讨论的标准.解法一：若每个区域服装颜色不相同，则有C14·C13·C12·1=24种；若Ⅰ、Ⅲ或Ⅱ、Ⅳ同色，另两区域不同色，则有2C14×3×2=48种；若Ⅰ、Ⅲ与Ⅱ、Ⅳ分别同色，则有C24·A22=12种.故共有24+48+12=84种.解法二：Ⅰ有4种可能，Ⅱ有3种可能，Ⅲ可与Ⅰ相同或不同，故共有4×3×3+4×3×2×2=84种方法.12.（14分）（理）某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法?解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，可以考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有A55种方法；（2）2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；（3）2张2一起出，3张A分开出，有A45种方法；（4）2张2一起出，3张A两次出，有C23A35种方法；（5）2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；（6）2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法.因此，共有不同的出牌方法A55+A25+A45+C23A35+A35+C23A45=860种.（文）抛物线方程y=ax2+bx+c的各项系数a、b、c∈{－2，－1，0，1，2，3，4}，且a、b、c两两不等.（1）过原点的抛物线有多少条?（2）过原点且顶点在第一象限的抛物线有多少条?解：（1）抛物线过原点，则c=0.从－2，－1，1，2，3，4中任取2个数作为a、b，有A26=30条.（2）∵顶点在第一象限，∴.00.0444,0222baababacab且∴C13·C13·C11=9.∴过原点且顶点在第一象限的抛物线有9条.13.（14分）7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同排法?（1）甲、乙必须排在一起；（2）甲不在排头，乙不在排尾；（3）甲、乙、丙互不相邻；（4）甲、乙之间必须隔一人.解：（1）（整体排列法）先将甲、乙看作一个人，有A66种排法，然后甲、乙换位，所以不同的排法有A22·A66=1440种.（2）（间接法）甲在排头或乙在排尾的排法共2A66种，其中都包含甲在排头且乙在排尾的情形，故有不同的排法A77－2A66+A55=3720种.（3）（插空法）把甲、乙、丙插入其余4个元素产生的5个空，有A44·A35=1440种.（4）先从其余5人中选1人有5种选法，放在甲、乙之间，将三人看作一个有A55种，然后甲、乙换位有A22种，共有5A55A22=1200种方法.评述：解决“相邻”问题一般用整体法，解决不相邻问题一般用插空法，解决某些元素在某些位置用定位法，解决某些元素不在某些位置一般用间接法.14.（14分）已知（1+3x）n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.解：末三项的二项式系数分别为C2nn、C1nn、Cnn，由题设，得C2nn+C1nn+Cnn=121，即C2n+C1n+1=121，∴n2+n－240=0.∴n=15（n=－16舍去）.∵T1r=Cr15（3x）r=Cr15·3rxr，设T1r项与Tr项的系数分别为t1r与tr，则t1r=Cr153r，tr=C115r·31r，令rrtt11，即1115153C3Crrrr=rr)115(31，解得r12.也就是说，当r取小于12的自然数时，都有trt1r，即第12项以前的各项，前面一项的系数都比后面一项的系数小.又当r=12时，t1r=tr，即t13=t12，∴展开式中系数最大的项是T12=C1115·311·x11，T13=C1215·312·x12，当n=15时，二项式系数最大的是第8、9项，分别为C715·37·x7与C715·38·x8.评述：本题考查二项式系数的性质、二项式定理、二项式系数与项的系数以及运算能力.注意二项展开式中，项的系数与项的二项式系数是两个不同的概念，前者由指数、底数二者决定，而后者只与二项式次数有关，一般地，项的系数不具备二项式系数的性质，不能混用.在（a+b）n的展开式中，系数最大的项是中间项；但当a、b的系数不是1时，最大系数值的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数值的增减性具体讨论而定.