高考第一轮复习数学圆锥曲线的方程(附答案)

素质能力检测（八）一、选择题（每小题5分，共60分）1.过原点的直线l与双曲线42x－32y=－1交于两点，则直线l的斜率的取值范围是A.（－23，23）B.（－∞，－23）∪（23，+∞）C.［－33，23］D.（－∞，－23）∪［23，+∞）解析：双曲线焦点在y轴上，渐近线斜率为±23，利用数形结合易得k＞23或k＜－23.答案：B2.（2005年启东市第二次调研题）过点M（－2，0）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1·k2的值为A.2B.－2C.21D.－21解析：设P1（x1，y1）、P2（x2，y2），中点P（x0，y0），则k1=2121xxyy，k2=00xy=2121xxyy.将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2，相减得22212221xxyy=－21.∴k1·k2=2121xxyy·2121xxyy=22212221xxyy=－21.答案：D3.（2005年黄冈市调研题）如果方程px2+qy2=1表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A.pqx22+qy2=1B.pqx22+qy2=－1C.qpx22+qy2=1D.qpx22+qy2=－1解析：由题意有pq0，若p0，q0，则双曲线焦点位于y轴上且c2=p+q无答案，则只有p0，q0，焦点位于x轴上，且c2=－p－q，B答案符合.答案：Bx=2cosθ，y=sinθ（其中参数θ∈R）上的点的最短距离为A.36B.1C.2D.32解析：d=22sin)1cos2(=2cos4cos32=32)32(cos32，dmin=36.答案：A5.（2005年北京海淀区第一学期期末练习）已知mn≠0，则方程mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系下的图形可能是xxxxyyyyOOOOABCD解析：由mn≠0，分m、n同号或异号讨论即得A正确.答案：A6.双曲线的虚轴长为4，离心率e=26，F1、F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于A.82B.42C.22D.8解析：由题意知b=2，ac=26，∴a=22.由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|=42，|BF2|－|BF1|=42.∴|AF2|+|BF2|－（|AF1|+|BF1|）=82，即|AB|=82.4.点P（1，0）到曲线答案：A7.若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在此抛物线上移动，当｜PA｜＋｜PF｜取最小值时，点P的坐标为A.（0，0）B.（－2，－2）C.（2，2）D.（2，0）解析：由抛物线的定义知：过A作准线的垂线与抛物线的交点即为所求.答案：C8.双曲线mx2－ny2=1（mn≠0）的离心率为2，则nm的值为A.3B.31C.3或－31D.3或31解析：当m＞0，n＞0时，c=nm，a=m，由题意mnm=2，解得nm=31；当m＜0，n＜0时，c=nm＝，a=n，nnm=2，解得nm=3.答案：D9.已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是抛物线y2＝2px（p＞0）上两个不同点，则y1·y2＝－p2是直线P1P2过焦点的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：显然当P1P2是通径时y1·y2＝－p2，设P1P2的方程为x＝ky＋b，代入y2＝2Px，知y2＝2p（ky＋b），即y2－2pky－2pb＝0，由y1y2＝－p2，b＝21p，∴P1P2：x－21p＝ky，此直线过点（2p，0）.反之，若直线P1P2过焦点F（2p，0）易得y1y2=－p2.答案：C10.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A.x2+y2－x－2y+41=0B.x2+y2+x－2y+1=0C.x2+y2－x－2y+1=0D.x2+y2－x－2y－41=0解析：利用平面几何的知识及抛物线的定义易知圆的半径为1，圆心坐标为（21，1），（21，－1）.答案：A11.P是双曲线22ax－22by=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为A.aB.bC.cD.a+b－c解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点.答案：A12.关于方程x2+2y2－ax+ay－a－1=0（a∈R）表示的椭圆，给出以下四个命题：①椭圆的中心在一条直线上运动；②椭圆的大小不变；③不论a取什么值，椭圆总过两个定点；④椭圆的离心率不变.其中错误命题的个数是A.3B.2C.1D.0解析：椭圆方程为8883)2(22aaax+16883)4(22aaay=1，故中心（2a，－4a）在直线y=－21x上运动.∴①成立.离心率e=8883168838883222aaaaaa=8116181=21（定值），故④成立.随a的变化，88832aa与168832aa均变化，故②不成立.椭圆方程又可写为（x2+2y2－1）+a（－x+y－1）=0.x2+2y2－1=0，－x+y－1=0，由Δ=42－4×3＞0知方程组有两组解，故③成立.综上知只有②错误，故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）13.（2003年北京）以双曲线162x－92y=1的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是____________.解析：在双曲线162x－92y=1中，右顶点为（4，0），左焦点为（－5，0）.令消y得3x2+4x+1=0.由题设抛物线方程为y2=－2p（x－4）（p＞0），且满足2p=4－（－5），∴p=18.∴y2=－2×18（x－4），即y2=－36（x－4）.答案：y2=－36（x－4）14.已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度为____________.解析：依题意设弦端点为A（x1，y1）、B（x2，y2）.分别代入椭圆方程相减得此弦的斜率k=2121xxyy=－)(22121yyxx=－21.∴此弦的方程为y=－21x+23.代入x2+2y2=4，整理得3x2－6x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=31.∴|AB|=212214)(xxxx·21k=3144·411=330.答案：33015.（2005年黄冈市调研，15）在△ABC中，B（－2，0）、C（2，0）、A（x，y），给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边△ABC满足的条件及相应的右边A点的轨迹方程连起来.（错一条连线得0分）①△ABC周长为10ay2=25②△ABC面积为10bx2+y2=4（y≠0）③△ABC中，∠A=90°c92x+52y=1（y≠0）解析：①由|AB|+|AC|=6，得92x+52y=1（y≠0）.②由21|BC||y|=10，得y2=25.③由|AB|2+|AC|2=|BC|2，得x2+y2=4（y≠0）.答案：①→c②→a③→b16.（2004年春季上海）若平移椭圆4（x+3）2+9y2=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_____________.解析：由题意知椭圆的长半轴长a=3，短半轴长b=2，因椭圆与x轴、y轴只有一个交点，故椭圆与x轴、y轴相切，椭圆的中心为（3，2），所以椭圆方程为9)3(2x+4)2(2y=1.答案：9)3(2x+4)2(2y=1三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）（2005年北京海淀区第一学期期末练习）设椭圆22ax+22by=1（ab0）的左焦点为F1（－2，0），左准线l1与x轴交于点N（－3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.（1）求直线l和椭圆的方程；（2）求证：点F1（－2，0）在以线段AB为直径的圆上；（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F1的所有圆中，求面积最小的圆的半径长.（1）解：直线l：y=33（x+3），由已知c=2及ca2=3，解得a2=6，∴b2=6－22=2.∴椭圆方程为62x+22y=1.x2+3y2－6=0，①y=33（x+3），②将②代入①，整理得2x2+6x+3=0.③设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=－3，x1x2=23.方法一：kAF1·kBF1=211xy·222xy=)2)(2()3)(3(312121xxxx=]4)(2[39)(321212121xxxxxxxx=－1，∴F1A⊥F1B，即∠AF1B=90°.∴点F1（－2，0）在以线段AB为直径的圆上.方法二：AF1·BF1=（x1+2，y1）·（x2+2，y2）=（x1+2）（x2+2）+y1y2=x1x2+2（x1+x2）+4+31［x1x2+3（x1+x2）+9］=34x1x2+3（x1+x2）+7=0，∴F1A⊥F1B.则∠AF1B=90°.∴点F1（－2，0）在以线段AB为直径的圆上.（2）证明：解方程组（3）解：面积最小的圆的半径长应是点F1到直线l的距离，设为r.∴r=1)33(|30)2(33|2=21为所求.18.（12分）已知椭圆的焦点是F1（－3，0）和F2（3，0），离心率为e=23.（1）求椭圆上的点到直线2x+3y+8=0距离的最大值；（2）若P在椭圆上，1PF·2PF=32，求△PF1F2的面积.解：（1）设椭圆22ax+22by=1，半焦距为c，则c=3a=2a2=4，ac=23a2－b2=3b2=1.∴椭圆方程为42x+y2=1.设椭圆上的点为P（2cosθ，sinθ），P到直线2x+3y+8=0的距离d=|138sin3cos4|=|138)sin(5|≤|1313|=13.当且仅当sin（θ+）=1时取“=”（其中tan=34）.椭圆上的点到直线2x+3y+8=0的最大值为13.（2）∵1PF·2PF=|1PF||2PF|cos〈1PF，2PF〉=32，又∵|21FF|2=|1PF|2+|2PF|2－2|1PF|·|2PF|cos〈1PF，2PF〉，∴|PF1|+|PF2|=4，即12=（|1PF|+|2PF|）2－2|1PF|·|2PF|－32·2=16－2|1PF|·|2PF|－32·2|1PF|·|2PF|=34cos〈1PF，2PF〉=21sin〈1PF，2PF〉=23.∴S△PF1F2=21|1PF||2PF|sin〈1PF，2PF〉=21·34·23=33.19.（12分）（2004年春季上海）设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（21，0）的距离比点P到y轴的距离大21.（1）求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（2）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且OA⊥OB，点O到直线l的距离为2，求直线l的方程.解：（1）∵x≥0，∴22)21(yx=x+21.整理得y2=2x.这就是动点P的轨迹方程，它表示顶点在原点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线.（2）①当直线l的斜率不存在时，由题设可知，直线l的方程是x=2.联立x=2与y2=2x，可求得点A、B的坐标分别为（2，22）与（2，－22），此时不满足OA⊥OB，故不合题意.②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+b（其中k≠0，b≠0）.将x=kby代入y2=2x中，并整理得ky2－2y+2b=0.①设直线l与抛物线的交点坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1、y2为方程①的两个根，于是y1y2=kb2.又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0.②将x1=221y，x