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北京四中2005年数学第三次统测（文科）一、选择题：（每小题5分）1.在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3；当时，a*b=b2。根据这个定义，满足3*x=27的x的值为（）A．3B．1或9C．1或D．3或2.函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.3.在的展开式中，含项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（）A．第13项B．第18项C．第11项D．第20项4.若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（）A．B．C．D．5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）A．B．C．D．6.已知，则下列排序正确的是（）A．B．C．D．7.已知，，点C在坐标轴上，若，则这样的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．48.设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分）9.函数的定义域是______，递增区间是______.10.在数列中，若且对任意有则数列前项的和为______，前项和最小时的等于______.11.若，则目标函数的取值范围是______.12.向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于______.13.已知P是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是______，它的焦点坐标是_________．14.若定义在区间D上的函数对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数.现已知在上是凸函数，则锐角中，的最大值是_________．答案一、选择题：（每小题5分）题号12345678答案二、填空题：（每小题5分）9101112131415.（本小题满分13分）矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。(I)求DE与平面AC所成角的正弦值；(II)求二面角D-EC-B的正切值。16.（本小题满分13分）已知为锐角，且。（1）求的值；（2）求的值。17.（本小题满分14分）设函数是三次函数，是一次函数，，在处有极值2.（1）求的解析式；（2）求的单调区间.18.（本小题满分14分）已知函数.（1）求的值，使点到直线的距离最短为；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围.19.（本小题满分13分）直线与曲线交于（异于原点）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……,过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……。设坐标为,（）.（Ⅰ）求和的表达式；（Ⅱ）判定是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有，设的斜率分别是.（1）求证；（2）设分别为双曲线和椭圆的右焦点，若∥，求的值.答案一、选择题：（每小题5分）题号12345678答案DCDCCBCC二、填空题：（每小题5分）9（-∞，-3）∪（1，+∞）（-∞，-3）104或511[8，14]1213y=6x2-1(x≠0)1415．如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D-AE-B的平面角，∠DMN=60°，AE⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则平面AC⊥平面DMN。(I)在平面DMN内，作DO⊥MN于O，∵平面AC⊥平面DMN，∴DO⊥平面AC。连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2，，。如图2，在直角三角形DOM中，DO=DM·sin60°=,在直角三角形DOE中，，则。∴DE与平面AC所成的角为。(II)如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DE，∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。如图1，作OF⊥DC于F，则RtΔEMD∽RtΔOFD，，∴。如图2，在RtΔDOM中，OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°=.如图1，DO=DM+MO。在RtΔDFO中，，∴二面角D-EC-B的大小为。16.（1）∵x为锐角∴（2）17．解：（1）设的递增区间为，递减区间为18.解：（1）由题意得M到直线x+y-1=0的距离令解得a=3或a=-1（舍去）∴a=3（2）由得也就是令即at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立设，则要使上述条件成立，只需解得即满足题意的a的取值范围是19．解：（Ⅰ）由已知，设，其中，解（注意到）得，x1=1于是，；；；猜测当时，，猜测正确，假设当时，成立，即那么，当时，综上所述，.（Ⅱ）.所以，.20.解：（1）A（-a，0），B（a，0），设P（x1，y1）Q（x2，y2）则（2）由（1）又P在双曲线上同理。