高考复习高三单元试题之九直线平面简单几何体

高三单元试题之九直线平面简单几何体(时量：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知m、l是直线，α、β是平面，则下列命题正确的是（）A．若l平行于α，则l平行于α内的所有直线B．若mα，lβ，且m∥l，则α∥βC．若mα，lβ，且m⊥l，则α⊥βD．若mβ，m⊥α，则α⊥β2．正三棱锥P—ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=a，AB的中点M，一小虫沿锥体侧面由M爬到C点，最短路段是（）A．a210B．a23C．)22(21aD．a)51(213．下列命题中正确的是（）A．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的4．如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（）A．23B．25C．2D．365．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中⑴BM与ED平行⑵CN与BE是异面直线⑶CN与BM成60⑷DN与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.⑴⑵⑶B.⑵⑷C.⑶⑷D.⑵⑶⑷6．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90°B．30°C．45°D．60°7．三棱锥A—BCD的高AH=3a3，H是底面△BCD的重心。若AB=AC，二面角A—BC—D为60°，G是△ABC的重心，则HG的长为（）A．a5B．a6C．a7D．a108．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=12，BC=6，AA1=5，分别过BC和A1D1的两个平行平面把长方体分成体积相等的三部分，则平行平面与底面ABCD所成角的大小为()A.58arctanB.85arctanC.56arctanD.54arctanABCDEFNMBACDB1C1D1A1PABCNM9．棱长为a的正四面体中，高为H，斜高为h，相对棱间的距离为d，则a、H、h、d的大小关系正确的是（）A．aHhdB．adhHC．ahdHD．ahHd10．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°11．球面上三点中任意两点的球面距离都等于大圆周长的41，若经过这三点的小圆面积为2则球的体积为（）A．3B．38C．34D．2312．已知－l－是大小确定的一个二面角，若a,b是空间两条直线，则能使a,b所成的角为定值的一个条件是（）A．a⊥且b⊥B．a∥且b⊥C．a⊥且b∥D．a∥且b∥二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．有三个球和一个正方体，第一个球与正方体各个面相内切，第二球与正方体各条棱相切，第三个球过正方体各顶点，则这三个球的面积之比为________。14．将正方形ABCD沿着对角线BD折成一个四面体ABCD，在下列给出的四个角度中，①30°②60°③90°④120°，不可能是AC与平面BCD所成的角是．（把你认为正确的序号都填上）15．将直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知直角边64,34ACAB，那么二面角A—BC—D的正切值为.16．右图为一正方体，A、B、C分别为所在边的中点，过A、B、C三点的平面与此正方体表面相截，则其截痕的形状是.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，将一副三角板拼接，使它们有公共边BC，且使两个三角形所在的平面互相垂直，若∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6。⑴求证：平面ABD平面ACD；⑵求二面角ACDB的平面角的正切值；⑶设过直线AD且与BC平行的平面为，求点B到平面的距离。BACABDC18．（本小题满分12分）正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长都等于2，D是BC上一点，且AD⊥BC.⑴求证：A1B∥平面ADC1;⑵求截面ADC1与侧面ACC1A1所成的二面角D—AC1—C的大小.19．（本小题满分12分）如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，其边长为1，∠BAD＝60°，再在平面的上侧，分别以△ABD与△CBD为底面安装上相同的正三棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°。⑴求证：PQ⊥BD；⑵求二面角P－BD－Q的大小；⑶求点P到平面QBD的距离。20．（本小题满分12分）梯形BCDQ中，BC∥QD，BC=1，QD=4，过B点的高AB=1，且A点平分QD，将△QBA沿AB折起，记折起后点Q的位置为P，且使平面PAB⊥平面ABCD⑴求证：平面PCD⊥平面PAC；⑵求直线AD与平面PCD所成角的正弦值；⑶求二面角A—PD—C的正弦值.BCQADBCP(Q)AD（a）（b）ABCPQDA1CDAB1C1B21．（本小题满分12分）如图，已知三棱锥S—ABC的三条侧棱长均为10，若ASBCSABSC,,且2sin2sin2sin222.⑴求证：平面SAB⊥平面ABC；⑵求：三棱锥S—ABC的体积.22．（本小题满分14分）如图,异面直线AC与BD的公垂线段AB=4,又AC=2,BD=3,CD=42.⑴求二面角C—AB—D的大小；⑵求点C到平面ABD的距离；⑶求异面直线AB与CD间的距离。SACBABDC高三单元试题之九：直线、平面、简单几何体参考答案一、1．D2．A3．C4．B5．C6．B7．C8．B9．D10．C11．C12．A二、13．1：2：314．③④15．34216．矩形(长方形)三、17．⑴平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC，∴BD⊥平面ABC。AC平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD。又AC平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD；⑵设BC中点为E，连AE，过E作EF⊥CD于F，连AF。由三垂线定理：∠EFA为二面角的平面角2tan323~EFAEEFAAEEFCDCEBDEFDBCEFC又，∴二面角的平面角的正切值为2。（III）过点D作DG//BC，且CB＝DG，连AG∴平面ADG为平面BC∥平面ADG∴B到平面ADG的距离与C到平面ADG的距离hAEShSVVBCDAGDCBDAAGDC3131776h．18．⑴解：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵AD⊥BC，∴D是BC的中点。连A1C交AC1于E，则E是A1C的中点，连ED，则ED为△A1BC的中位线。∴ED∥A1B。又ED平面ADC1，∴A1B∥平面ADC。⑴过D作DM⊥AC于M，∵正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，DM底面ABC，∴DM⊥侧面ACC1A1，作MN⊥AC1于N，连ND，则根据三垂线定理知：AC1⊥ND，∴AC1⊥面NDM，∴∠DNM即为二面角D—AC1—C的平面角，在Rt△DMC中，DM=DC,232322160sin在Rt△ANM中，NM=AM,4232224345sin4345sinAC在Rt△DMN中，tan∠DNM=,3642323MNDM,36arctanDNM即所求二面角的大小为.36arctan19．解：证明PQDCAMENB∵P－ABD，Q－CBD是相同的正三棱锥，∴△这BD与△QBD是全等的等腰三角形，取BD中点E，连结PE，QE，则BD⊥PE，BD⊥QE∴BD⊥平面PQE，从而PQ⊥BD。⑵证明：由⑴知∠PEQ是二面角P－BD－Q的平面角；作PM⊥，垂足为M，作QN⊥，垂足为N，则PM//QN，M，N分别为正ABD与正BCD的中心，从而A，M，E，N，C在一条直线上。PM与QN确定平面PACD且PMNQ为矩形经计算MENE36，PEQEPQMN1233,cos,arccosPEQPEQEPQPEQEPEQ22221313，二面角PBDQ为arccos13。⑶解：由⑴知：BD平面PEQ，设点P到平面QBD的距离为h则VShhPQBDQBD13112又VSBDPEQPQBDPEQ131241241132362sin()11223623hh,。即点P到平面QBD的距离为23。20．⑴（如右图）证：.,,2,1,90222ACCDADDCACACBCABABC又90PAB，且平面PAB⊥平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAC.又CD平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.（2）过A作AE⊥PC于E.∴AE平面PAC.由（1）知平面PAC⊥平面PDC，∴AE⊥平面PCD.连接ED，∴∠ADE是直线AD与平面PDC所成的角.622ACPAPC，.3/3/sin.3/32/ADAEADEPCACPAAE（3）解由（2）∵AE⊥平面PDC，过E作EF⊥PD于F，连结AF，∴AF⊥PD.∴∠AFE是二面角A—PD—C的平面角..3/6/sin,2,22AFAEAFEAFPD21．解：⑴在.2sin400)cos1(200cos200200,22ABABS中同理.2sin400,2sin400222BCAC因为2sin2sin2sin222，所以AC2+BC2+AB2，即△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）.又SA=SB=SC=10，则S在底面的射影O为△ABC的外心，由△ABC是直角三角形知O为斜边AB的中点.∴SO⊥平面ABC，SO平面SAB.∴平面SAB⊥平面ABC.⑵可求得.2cos10.2sin2sin2002122AOSASOBCACSABC22．⑴过A作AE∥BD，过D在作DE⊥AE，垂足为E，AB⊥BD∴AB⊥AE又AB⊥AC∴∠CAE为二面角C－AB－D的平面角，这时AB⊥平面ACE，于是DE⊥平面ACE,连CE在Rt△CDE中，CD=42，DE=AB=4，∴CE=4，在△ACE中，AE=BD=3，AC=2，由余弦定理得.41arccos,412321694cosCAECAE即二面角C—AB—D的大小为.41arccos；⑵由⑴可知415sinCAE，过C在平面ACE内作CH⊥AE，垂足为H，∵AB⊥平面ACE，∴平面ABD⊥平面ACE，∴CH⊥平面ABD，则CH为C到平面ABD的距离，2152154152sin的距离为到平面即ABDCCAEACCH；⑶∴AB∥DE，∴AB与平面CDE的距离即AB与CD的距离，在平面ACE内作AN⊥CE，垂足为N，DE⊥平面ACE。∴平面CDE⊥平面ACE，于是AN⊥平面CDE。则AN为AB与平面CDE的距离。在△ACE中可得AN=81534215332sinCECAEAEAC，即AB与CD的距离为3158。PFDBCEA