高考数学第二章第7讲

第7讲对数与对数函数第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．对数概念如果________(a0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝________．其中a叫做对数的________，N叫做________ax＝NlogaN底数真数栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用性质底数的限制：a0，且a≠1对数式与指数式的互化：ax＝N⇒________负数和零没有对数1的对数是________：loga1＝________底数的对数是________：logaa＝________对数恒等式：alogaN＝________运算性质loga(M·N)＝______________a0，且a≠1，M0，N0logaMN＝________________logaMn＝___________(n∈R)logaN＝x零011NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：________值域：R过定点________当x1时，y0当0x1时，y0当x1时，y0当0x1时，y0在(0，＋∞)上是_______在(0，＋∞)上是________(0，＋∞)(1，0)增函数减函数栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线________对称．y＝x栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明三个易误点(1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1.(2)对公式要熟记，防止混用．(3)对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0a1和a1分类讨论，否则易出错．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．对数函数图象的两个基本点(1)当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．换底公式及其推论(1)logab＝logcblogca(a，c均大于0且不等于1，b0)；(2)logab·logba＝1，即logab＝1logba(a，b均大于0且不等于1)；(3)logambn＝nmlogab(a0且a≠1，b0，m≠0，n∈R)；(4)logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d0)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．函数y＝xln(1－x)的定义域为()A．(0，1)B．[0，1)C．(0，1]D．[0，1]B解析：因为y＝xln(1－x)，所以x≥0，1－x0，解得0≤x1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．(必修1P75习题2.2A组T11改编)(log29)·(log34)＝()A.14B.12C．2D．4D解析：原式＝ln9ln2·ln4ln3＝4.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．(2014·高考天津卷)函数f(x)＝log12(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)D解析：因为y＝log12t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(2015·高考安徽卷)lg52＋2lg2－12－1＝________．－1解析：lg52＋2lg2－12－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：当0a1时，loga34logaa＝1，所以0a34；当a1时，loga34logaa＝1，所以a1.5．(必修1P75习题2.2B组T2改编)若loga341(a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是_______________________．0，34∪(1，＋∞)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用计算下列各式：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．考点一对数式的化简与求值栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．[注意]在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．1.(1)计算：（1－log63）2＋log62·log618log64；(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋（1－log63）（1＋log63）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.(2)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2014·高考福建卷)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()考点二对数函数的图象及应用B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)若不等式(x－1)2logax在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为________．(1，2]栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)由题意y＝logax(a0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B.(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用当0a1时，显然不成立；当a1时，如图所示，要使x∈(1，2)时f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1a≤2，即实数a的取值范围是(1，2]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用若本例(2)变为：已知不等式x2－logax0在x∈0，12内恒成立，求实数a的取值范围．解：由x2－logax0，得x2logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用由题意知，当x∈0，12时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，如图，可知0a1，f12≤g12，即0a1，122≤loga12，解得116≤a1.所以实数a的取值范围是116，1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.(1)(2016·济南模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11(2)已知函数f(x)＝log2x，x0，2x，x≤0，且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则a的取值范围为________．A(0，1]栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1logab0，解得1ab1.综上有01ab1.(2)当x≤0时，02x≤1，由图象可知方程f(x)－a＝0有两个实根，即y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0a≤1.即实数a的取值范围为(0，1]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)求对数函数的定义域；(2)探究对数函数的单调性、奇偶性；(3)比较对数值的大小；(4)解简单的对数不等式．考点三对数函数的性质及应用(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师