高考数学第二章第3讲

第3讲函数的单调性与最值第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用增函数减函数图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是________(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间．上升的下降的增函数减函数区间D栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________(1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明两个易误点(1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写出，一般不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接．例如函数f(x)＝1x在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不是减函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(2014·高考北京卷)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|B2．(必修1P39习题1.3A组T3改编)若函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则()A．k12B．k12C．k－12D．k－12D栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．(2016·长春质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)A解析：因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(必修1P39习题1.3B组T1改编)函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2，4]的单调递增区间为________，f(x)max＝__________．[1，4]8解析：函数f(x)的对称轴为x＝1，单调增区间为[1，4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用5．(必修1P31例4改编)已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为__________．225解析：可判断函数f(x)＝2x－1在[2，6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1，1)的单调性(其中a≠0).考点一函数单调性的判断与证明[解]设－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝a（x2－x1）（x1x2＋1）（x21－1）（x22－1）.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用因为－1x1x21，所以x2－x10，x21－10，x22－10，－1x1x21，所以x1x2＋10.所以（x2－x1）（x2x1＋1）（x21－1）（x22－1）0.因此，当a0时，f(x1)－f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(－1，1)上为减函数；当a0时，f(x1)－f(x2)0，所以f(x1)f(x2)，此时函数f(x)在(－1，1)上为增函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用判断函数单调性的常用方法(1)定义法和导数法．注意证明函数单调性只能用定义法和导数法．(2)图象法．如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的升、降判断函数的单调性.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.判断函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上的单调性．解：法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2，则y1－y2＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1（x1＋1）（x2＋1）.因为x1－1，x2－1，所以x1＋10，x2＋10，又x1x2，所以x2－x10，所以x2－x1（x1＋1）（x2＋1）0，即y1－y20.所以y1y2，所以函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用法二：y＝x＋2x＋1＝1＋1x＋1.因为y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，所以y＝1x＋1在(－1，＋∞)上是减函数，所以y＝1＋1x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．即函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1]B．(0，1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)(2)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．考点二求函数的单调区间[解](1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)．令y′＝x－1x＝x2－1x≤0，即x2≤1，即－1≤x≤1.故当x∈(0，1]时，函数单调递减．B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，＝－（x－1）2＋2，x≥0，－（x＋1）2＋2，x0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用若将本例(2)中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用确定函数的单调区间的方法(1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求．(2)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，一般不能用“∪”连接．(3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.作出函数y＝|x2－1|＋x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．解：当x≥1或x≤－1时，y＝x2＋x－1＝x＋122－54；当－1x1时，y＝－x2＋x＋1＝－x－122＋54.画出函数图象如图所示：由函数图象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，12，1，函数的增区间为－1，12，[1，＋∞)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现，高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)求参数的值或取值范围．考点三函数单调性的应用(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2015·高考四川卷改编)如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥2，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D.812B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)(2016·昆明模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bacD栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)(2016·泉州质量检测)已知函数f(x)＝a－14x，x≥1，ax，x1在R上为减函数，则实数a的取值范围是()A．(0，1)B.0，14C.－∞，14D.14，1(4)已知函数f(x)＝x2＋ax(a0)在(2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围为________．B(0，4]栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)①当m＝2时，因为f(x)在12，2上单调递减，所以0≤n8，mn＝2n16.②当m2时，抛物线开口向上，因为f(x)在12，2上单调递减，所以－n－8m－2≥2，即2m＋n≤12.又2m＋n≥22mn，所以22mn≤12，所以mn≤18.当且仅当2m＝n