高考数学第二章第9讲

第9讲函数与方程第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．f(x)＝0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点______，_____(x1，0)无交点零点个数两个一个零个(x1，0)(x2，0)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明两个易误点(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．会用判断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．明确三个等价关系(三者相互转化)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0，2B．0，12C．0，－12D．2，－12C解析：因为2a＋b＝0，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．所以零点为0和－12.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．(必修1P92习题3.1A组T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用零点存在性定理判定图中函数零点的是()A栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．已知函数y＝f(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)0，取区间(2，4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点所在的区间为________．(2，3)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(必修1P112复习参考题A组T1改编)若函数f(x)唯一的零点在区间(1，3)或(1，4)或(1，5)内，则①函数f(x)的零点在(1，2)或(2，3)内；②函数f(x)在(3，5)内无零点；③函数f(x)在(2，5)内有零点；④函数f(x)在(2，4)内不一定有零点；⑤函数f(x)的零点必在(1，5)内．以上说法错误的是________(填序号)．①②③栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2014·高考北京卷)已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，4)D．(4，＋∞)考点一函数零点所在区间的确定C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析]由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝60，f(2)＝3－1＝20，f(4)＝64－log24＝32－2＝－120，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用判断函数零点所在区间的方法(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)B解析：易知f(x)为增函数．因为f(－1)·f(0)＝－52＜0，所以函数f(x)的零点所在区间为(－1，0)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}(2)若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝110x在0，103上的根的个数是()A．1B．2C．3D．4考点二函数零点个数的问题DC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋7＞0(舍去)或x＝－2－7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－7，1，3}．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝110x在0，103上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝110x在0，103上有三个根．故选C.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用若将本例(2)中“110x”变为“110|x|”，则方程f(x)＝110|x|在[－3，3]上所有根的和为________．0解析：由本例(2)解析知f(x)＝110|x|在[－3，3]上有六个不同根，不妨设为x1x2x3x4x5x6，由图象关于y轴的对称性知x1＋x6＝0，x2＋x5＝0，x3＋x4＝0，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数零点个数的判断方法(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)利用图象交点的个数．[注意]若已知f(x)有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.(1)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2，0C.12D．0(2)(2016·天津河东一模)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3DC栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.(2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x0)，y2＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，且主要有以下两个命题角度：(1)已知函数的零点或方程的根求参数值或范围；(2)利用函数零点比较大小．考点三函数零点的应用(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2016·郑州质检)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(a)f(b)D．f(b)g(a)0(2)(2015·高考湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．A(0，2)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)依题意，f(0)＝－30，f(1)＝e－20，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0，1)内，即0a1，g(1)＝－30，g(2)＝ln2＋30，函数g(x)的零点在区间(1，2)内，即1b2，于是有f(b)f(1)0.又函数g(x)在(0，1)内是增函数，因此有g(a)g(1)0，g(a)0f(b)．(2)由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数，根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小，要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3.(1)已知函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)C(2)已知函数f(x)＝0，x≤0，2x，x0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0，1)B．(－∞，1)C．(－∞，0]∪(1，＋∞)D．(－∞，1]∪(2，＋∞)C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析：(1)因为f(x)在(1，2)内单调递增，依题意有f(1)·f(2)0，所以(－a)·(3－a)0，所以0a3，故选C.(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝x，x≤0，2x＋x