高考数学第二章第5讲

第5讲二次函数与幂函数第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．幂函数(1)定义：形如________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．y＝xα(α∈R)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝______________________．②顶点式：f(x)＝_______________________．③零点式：f(x)＝_______________________．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－m)2＋n(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)单调性在－∞，－b2a上单调递减；在_____________上单调递增在_______________上单调递增；在－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称－b2a，＋∞－∞，－b2a栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明两个易误点(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．(必修1P79习题2.3T1改编)设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1，3B．－1，1C．－1，3D．－1，1，3A栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A.0，120B.－∞，－120C.120，＋∞D.－120，0C解析：由题意知a＞0，Δ＜0，即a＞0，1－20a＜0，得a＞120.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()A．[0，1]B．[1，2]C．(1，2]D．(1，2)B解析：如图，由图象可知m的取值范围是[1，2]．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(必修1P82复习参考题A组T10改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为____________；在区间______________上递减．(0，＋∞)－12y＝x栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用5.（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为________．92解析：因为（3－a）（a＋6）＝18－3a－a2＝－a＋322＋814，由于－6≤a≤3，所以当a＝－32时，（3－a）（a＋6）有最大值92.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)当0x1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是_______________________．考点一幂函数的图象及性质Ch(x)g(x)f(x)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0x1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，故选C.(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)g(x)f(x)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α0，0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2B解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，f(x)＝x－2＝1x2在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1符合题意，应选B.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．考点二求二次函数的解析式[解]法一：(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用法二：(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝ax－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用法三：(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.已知二次函数图象的对称轴为x＝－2，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．解：因为二次函数图象的对称轴为x＝－2，所以可设所求函数的解析式为f(x)＝a(x＋2)2＋b.因为二次函数f(x)的图象截x轴所得的弦长为4，所以f(x)过点(－2＋2，0)和(－2－2，0)．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用又二次函数f(x)的图象过点(0，－1)，所以4a＋b＝0，2a＋b＝－1，解得a＝12，b＝－2.所以f(x)＝12(x＋2)2－2＝12x2＋2x－1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，难度偏大，属中高档题．高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)二次函数图象的识别问题；(2)二次函数的最值问题；(3)一元二次不等式恒成立问题．考点三二次函数的图象与性质(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b24ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5ab.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③B栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)(2014·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是___________．(3)(2016·太原模拟)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．－22，0栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)选B.因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac0，即b24ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y0，即a－b＋c0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，④正确．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则有f（m）0，f（m＋1）0，即m2＋m2－10，（m＋1）2＋m（m＋1）－10，解得－22m0.故填－22，0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1