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【参数方程和普通方程的互化】例1求曲线（为参数）与曲线（为参数）的交点．解：把代入得：两式平方相加可得∴（舍去）于是即所求二曲线的交点是（，－）．说明：在求由参数方程所确定的两曲线的交点时，最好由参数方程组求解，如果化为普通方程求交点时要注意等价性．如该例若化为普通方程求解时要注意点（－，）是增解．例2化直线的普通方程为参数方程（其中倾斜角满足且）解法一：因，，故∴设。取为参数，则得所求参数方程解法二：如图，（）为直线上的定点，为直线上的动点．因动点M与的数量一一对应（当M在的向上方向或正右方时，；当M在的下方或正左方时，；当M与重合时，），故取为参数．过点M作y轴的平行线，过点作轴的平行线，两直线相交于点Q（如图）．则有∴即为所求的参数方程。说明：①在解法二中，不必限定，，即不必限定，．由此可知，无论中任意值时，所得方程都是经过（），倾斜角为的直线的参数方程．可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”．②要充分理解解法二所示的参数的几何意义，这对解决某些问题较为方便．③如果取为参数，则得直线参数方程一般地，直线的参数方程的一般形式是（，为参数）但只有当且仅当，且时，这个一般式才是标准式，参数才具有上述的几何意义．例3求椭圆的参数方程．分析一：把与对比，不难发现，可设，也可设解法一：设（为参数），则∴故因此，所得参数方程是（Ⅰ）或（Ⅱ）由于曲线（Ⅱ）上的点（，），就是曲线（Ⅰ）上的点（，），所以曲线（Ⅱ）上的点都是曲线（Ⅰ）上的点．显然．椭圆的参数方程是分析二：借助于椭圆的辅助圆，可明确椭圆参数方程中的几何意义．解法二：以原点O为圆心，为半径作圆，如图．设以轴正半轴为始边，以动半径OA为终边的变角为，过点A作轴于N，交椭圆于M，取为参数，则点M（）的横坐标（以下同解法一）．由解法二知，参数是点M所对应的圆半径OA的转角，而不是OM的转角，因而称为椭圆的离角．（如果以O为圆心，为半径作圆，过M作，交圆于B，由可知也是半径OB的转角）．例4用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数，把圆化为参数方程。分析：由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。解：如图所示，圆方程化为，设圆与x轴正半轴交于A，为圆上任一点，过P作轴于B，OP与x轴正半轴所成角为，，则：又中，∴∴此圆的参数方程为例5设（为参数）把普通方程化为以为参数的参数方程。解：把代入原方程，得，解得∴参数方程为（为参数）∵与表示的是同一曲线，所以它们是等价的，可以省略一个。∴所求参数方程例6化双曲线为参数方程。解：设，代入为，得∴的参数方程为（为参数，）这是同学中较为常见的解法，这种解法是错误的，那么错在哪里呢？请你找出来。错误在于，双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数，错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅，故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分，不符合普通方程与参数方程的等价性要求，普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数，注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。下面给出正确解法：设，代入得。∴的参数方程为：（为参数，）例7化参数方程（为参数）为普通方程。分析一：用代入消元法，从已知方程中解出参数，代入后消去参数。解法一：∵∴即将它代入（1），并化简得（）分析二：用整体消参法。注意表达式的分母相同，而分子的平方和恰为原来相同的分母。解法二：得又∵∴于是得所求普通方程为即分析三：因为，所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三角变换，然后利用三角公式再消参。解法三：∵，∴可令（，）又∵于是得得即∵，（）∴（）即，∴∴普通方程是（）说明：解法一是用代入法消参，解法二是整体消参法，解法三是运用万能公式，三角变换消参，三种解法中都应注意的限制条件，使参数方程化为普通方程时保持等价性。例8将下列参数方程（其中，为参数）化为普通方程。（1）（2）（3）解：（1）∵∴（）为所求。（2）由，得（）将它代入，并化简得（）另解：∵并整理得（）（3）∵且∴所求普通方程为说明：（1）小题是用三角公式变形后用代入法消参，（2）是用代入（消元）法消参变形后整体消参，（3）小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。例9对于方程（a，b为常数）（1）当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线；（2）当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线解：（1）当t为常数，原方程可变形为两式平方相加得即这是以（a，b）为圆心，为半径的圆。（2）当为常数时，由第一式得代入第二式得即这是过点（a，b），斜率为的一条直线小结：同一参数方程，由于参数不同，所表示的曲线也不同，消去参数化为普通方程后，曲线的类型也就显现出来。例10已知直线过点P（2，0），斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点，线段AB的中点为M。求：（1）线段PM的长；（2）M点的坐标；（3）线段AB的长解：如图。（1）由直线过点P（2，0），斜率为。设其倾斜角为，则有可得直线的标准参数方程为：（其中为参数）设直线上两点A、B分别对应参数、，由方程组：消去可得：有，由M为AB的中点，∴（2）设M点对应参数为，则有∴M点坐标为：∴M点坐标为（，）（3）由分别代入，可得点拨：利用直线的标准参数方程中参数的几何含义，在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时，显得很方便和简捷。例11已知椭圆上的一个点P（），求的最值。解：设椭圆的参数方程为：（为参数，）∴，（其中）∵∴即的最大值是，最小值是－。点拨：这个题虽然很简单，但它说明了一个道理：曲线的参数方程不仅表示了曲线，同时也表示了曲线上的点的坐标．当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时，实际上起到了消元的作用，即用一个参数表示了、，因此，在求某些几何量的最值时，参数方程可以起到一元化即消元的作用．例12过点M（2，1）作曲线（为参数）的弦AB，若M为AB的三等分点，求AB直线方程。解：设AB的方程为（t为参数），将x，y代入曲线（为参数）即，整理、化简得，①②∵点M在AB的内部∴∴。将①、②代入上式有。解得，则AB的方程为小结：本题是首先设出过定点的参数方程，然后和椭圆方程联立，再利用韦达定理及直线参数方程中t的意义，求得斜率，用点斜式写出直线方程。例13圆O内一定点A，过A任作两互相垂直的弦，求证这两弦长的平方和为定值。证明：以圆心O为原点，OA所在的直线为x轴建立直角坐标系，设圆的方程，过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为即分别代入圆方程，得，其二根为、，，其二根为、，故有∴两弦平方和为定值小结：涉及圆的弦长问题，可利用直线参数方程来解。例14已知是抛物线的一动弦，O为原点。当恒为直角时，如图求弦的中点P的轨迹方程。分析点P是的中点，点P的坐标与，的坐标，，、相关，如果选取，，、作为参数，则要列出，，，、有关的五个方程，最后消去参数，，、就可以得到P点的轨迹方程。解设P（），（，），（，）∵P是的中点∴①②∵，在抛物上∴③④又∵恒为直角，即∴⑤由③×④：∴由③＋④：∴把①、②式代入得：∴P点的轨迹方程是说明此题的解法是利用参数求点的轨迹方程，参数的个数可以是一个，也可以是几个，所列出的参数与点的坐标之间的方程的个数要比参数个数多一个，最后消去参数，得出轨迹方程．解决这类问题的关键是如何选取参数．此题还有一种选取参数的方法．设直线的斜率为，根据则的方程是，的方程是。由解得由解得设，根据P是的中点∴（1）（2）由把（1）代入：∴P点的轨迹方程是：