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数列与不等式专题一．高考说明剖析江苏省2005年高考数学考试大纲，对于《不等式》一章的考试内容及考试要求为：(1）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之一。传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。这是总的格局，再细化一下，看2004年高考关于不等式、数列的试题配置：江苏省2004年高考数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题(数列为第20题，不等式为第22题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都在不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。由此可以看出，不等式和数列是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：数列、不等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式、数列内容仍将是今年高考考查的重点。二．高考试题研究例1．(2004年江苏高考20题)设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn。⑴若首项a1＝32，公差d＝1，求满足2kS＝(Sk)2的正整数k；⑵求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有2kS＝(Sk)2成立。学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具有高等数学的语言味道。例2．(2004年江苏高考22题)已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对于任意的实数x1、x2，都有λ(x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]和｜f(x1)－f(x2)｜≤｜x1－x2｜，其中λ是大于0的常数。设实数a0、a、b满足f(a0)＝0和b＝a－λf(a)。(Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0；(Ⅱ)证明：(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2；(Ⅲ)证明：[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2。本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低，区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后95％学生可放弃解答本题。例3．(2004年全国高考数学试卷二19题)数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an+1＝n2n＋Sn(n＝1，2，3，…)。证明：⑴数列{Snn}是等比数列；⑵Sn+1＝4an。解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号{Snn}的意义，二是把握项与和的关系（消项留和）。例4．(2004年北京高考18题)f(x)是定义在[0，1]上的增函数，f(x)=2f(x2)且f(1)＝1，在每个区间(12i，12i-1］(i=1，2，3，…)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。⑴求f(0)及f(12)、f(14)的值，并归纳出f(12i)(i=1，2，3，…)的表达式；⑵略解答本题必须具有识别数列模式的能力。例5．(2004年北京高考20题)给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，r1称为第一组的余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这里的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…，直至第N组(余差为rN)把这些数全部分完为止。⑴判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；⑵当构成第n(n＜N)组后，指出余下每个数与的rn的大小关系，并证明rn-1＞150n－Ln－1；⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11（本题是理科试题最后一题）。阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第1小题多数学生可以做出来，不难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。三．高考命题展望回顾2004年江苏省高考数学试卷，并纵观别的省份的高考数学试卷，都有一个共同的特点，就是一改近几年高考数学试卷难度偏大，体现了对学生分层要求（全体学生的要求，多数学生的要求，少数学生的要求），让每个学生都有成功感。江苏省2004年高考数学试卷与2003年高考数学试卷相比，难易程度明显降低，相对来说是比较平妥的。但有一点未变，这就是突出考查主干知识和基本能力。这是因为主干知识和基本能力是支撑知识体系的主要内容，高考时必须保持较高的比例予以考查，并达到必要的深度，以保证高考目标的实现。2005年的高考考试大纲对于不等式、数列的要求同2004年要求完全一样。根据上述三点，我们对2005年高考数学命题展望如下：1．贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。如2004年北京高考数学试题第19题。例6．某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5km，BC＝3km，在列车运行时刻表上，规定列车8点整从A站出发，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点出发，在B站并停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。⑴分别写出列车在B、C两站的运行误差；⑵要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力。本题具有一定的生活背景和文化背景，而且其数学模型是一个简明的绝对值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误差分别为｜300v－7｜和｜480v－11｜，进而得出不等式：｜300v－7｜和｜480v－11｜≤2。本题作为应用题，它的阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力，第二问检测学生的数学解模能力。估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理解，第二个障碍是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现单位错误,第三个障碍是不会解不等式,或解解不等式时分类不全,乱分类。2．考查学生的数学探究能力《普通高中数学课程标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学教学使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。例7(2005北京春季高考第20题)现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0＝0。为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，xn＝n5，yn＝(a0＋a1＋…＋an)，作函数y＝f(x)，使其图象为逐点依次连接点Pn(xn，yn)(n＝0，1，2，…，5)的折线。（1）求f(0)和f(1)的值；（2）设Pn-1Pn的斜率为kn(n＝1，2，3，4，5)，判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（3）证明：当x∈(0，1)时，f(x)＜x；（4）求由函数y＝x与y＝f(x)的图象所围成图形的面积S（用a1，a2，a3，a4，a5表示）。本题以数字为研究对象，波及的知识点多，这点对于学生来说，具有一定的挑战性。但更具有值挑战性的是，学生要有勇气、毅力和探究能力。3．适度综合由学习和教学的特点，只能将结构完整的蕴含着深刻思想的有着内在联系的知识网络，人为地加以分割成条、块，而后，按一定的顺序，渐次展开进行教学。但在应用中，往往需要将知识综合，需要数学思想指导，需要数学方法支撑，才能够解决问题，支离破碎的知识是不行的（有用捕捉，有关提取，有效整合）。不等式与函数、数列、二项式定理、解析几何等知识的综合，数列与函数、方程、不等式、解析几何等的综合，既有天然的因素，也有人工的成份。试题渗透归纳猜想、类比联想、等价转化、分类讨论等重要的数学思想，试题难度一般均属中等以上。例如2004年上海高考数学试卷的第22题。例8．(2004年上海高考22题)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(n≥3，n∈N)是二次曲线C上的点，且a1＝｜OP1｜2，a2＝｜OP2｜2，…，an＝｜OPn｜2构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点。记Sn＝a1＋a2＋…＋an。(文)⑴若C的方程为x29－y2＝1，n＝3，点P1(3，0)且S3＝162，求点P3的坐标；(只需写出一个)⑵若C的方程为y2＝2px(p≠0)，点P1(0，0)，对于给定的自然数n，证明：(x1＋p)2、(x2＋p)2、(x3＋p)2、…、(xn＋p)2成等差数列；⑶若C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，点P1(a，0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值。本题在二次曲线与数列的交汇点设计试题，题型新颖，解法多样。四．高考复习建议关于数列与不等式这部分内容的复习，提几点建议，一家之言，仅供大家参考：1．注重双基，降低难度，突出主干知识。比如数列中对an与Sn符号的理解：2004年江苏省高考数学试卷的第20题，考查了学生对符号2kS的理解。学生明白＝f(n)意义标准是：⑴数列｛an｝第n项就是f(n)；⑵数列｛an｝第n项与其序号n的对应关系就是f。类似的还有符号xi（i=0，1，2，…）。关于an与Sn之间的关系，江苏省近两年的高考数学试题虽均没涉及，我们也不能掉以轻心，应给予足够地重视。在给an与Sn的关系的前提下，是消an还是消Sn要灵活，比如：上面的例3，2004年全国高考数学试卷二19题。又比如，已知数列{an}的各项都是正数，且前n项和Sn满足Sn＝12(an＋1an)，求{an}的通项公式以及前n项和公式。对于递推数列，特别是递推数列与概率的综合问题，我们要给予重视。有人玩硬币走跳棋的游戏。棋盘上有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一枚棋子开始在第0站。已知硬币出现正反面的概率都是0.5，棋手每掷一次硬币，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为Pn。（1）求P0，P1，P2；（2）求证：Pn－Pn－1＝－12（Pn－1－Pn－2）；（3）求玩该游戏获胜的概率。再如不等式与相关函数的单调性之间的关系。⑴不等式与二次函数：已知f(x)＝x2＋(b－1)x＋c，若f(x1)＝f(x2)＝0，x1－x2＞1。①证明：b2＞2(b＋2c)；②若实数e＜x1，试比较e2＋be＋c与x1的大小。⑵不等式与三次函数：已知函数f(x)＝x3－13x2＋40x在区间[a，＋∞)上有反函数，则a的最小值是A．8B．203C．132D．133⑶不等式与抽象函数：若函数f(x)满足对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且x＞0时恒有f(x)＞1。①证明：f(x)在R上是增函数；②若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2关于放缩法，放缩法虽不是高中教学的重点，但它却是高考的热点，这是因为放缩法证明不等式是高等数学中比较常用的方法，它的