高考数学立体几何复习训练2

九、直线、平面、简单几何体考试要求：1、掌握平面的基本性质，会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。2、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。3、理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。4、了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。5、掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。6、理解直线的方向向量，平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。7、掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理。掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。8、了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。9、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。10、了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。11、了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。1、已知直线m，n，平面,，给出下列命题：①若则,,mm；②若//,//,//则mm；③若则,//,mm；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直.其中正确的命题是：A．②③B．①③C．②④D．③④2、已知平面α、β、γ，直线l、m，且lmml,,,，给出下列四个结论：①；②l；③m；④.则其中正确的个数是：A．0B．1C．2D．33、如图，点E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1的中点，则过点E且与直线AB、B1C1都相交的直线的条数是：A．0B．1C．2D．无数条4、已知四个命题：①若直线l∥平面，则直线l的垂线必平行于平面；②若直线l与平面相交，则有且只有一个平面经过l与平面垂直；③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；④若四棱住的任意两条对角线都相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体.其中正确的命题是：A．①B．②C．③D．④5、在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=32，则此正三棱锥的外接球的表面积为6、在空间中，下列命题中正确的是：①若两直线a、b分别与直线l平行，则a//b②若直线a与平面β内的一条直线b平行，则a//β③若直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β④若平面β内的一条直线a垂直平面γ，则β⊥γA．①②④B．①④C．①③④D．①②③④7、如图正三棱柱ABC—A1B1C1底面边长与高相等，截面PAC把棱柱分成两部分的体积之比为5∶1,则二面角P—AC—B的大小为：A．30°B．45°C．60°D．75°8、球面上有A、B、C三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，过A、B、C的小圆圆心到△ABC的边BC的距离为1，那么球的面积为9、P是正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱CC1上一点（侧棱端点除外），则∠APB的大小满足：A．600APBB．60APBC．9060APBD．以上都有可能10、锥体体积V可以由底面积S与高h求得：ShV31.已知正三棱锥P—ABC底面边长为23，体积为43，则底面三角形ABC的中心O到侧面PAB的距离为.11、如图，在棱长为3的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（）A．29B．3C．556D．212、如图，矩形ABCD中，DC=3，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是.PABCDD1A1B1C113、如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，E是A1C的中点，EDAC1且交AC于D，AAABBC122。（I）证明：BC11//平面ABC1；（II）证明：AC1平面EDB；（III）求平面AAB1与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。14、如图，P—ABCD是正四棱锥,1111ABCDABCD是正方体，其中2,6ABPA。（1）求证：11PABD；（2）求平面PAD与平面11BDDB所成的锐二面角的大小。15、如图，已知正四棱锥S—ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面SBC的重心．求：（1）P、Q两点间的距离；（2）异面直线PQ与BS所成角的余弦值；（3）直线PQ与底面ABCD所成的角．16、矩形ABCD中，ABBC623，，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移动到点P，使点P在平面BCD上的射影在DC上（如下图F）。（I）求证：PD⊥PC；（II）求二面角P—DB—C的大小；（III）求直线CD与平面PBD所成角的大小。17、已知四棱锥P—ABCD（如图），底面是边长为2的正方形.侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点.MQ⊥PD于Q，直线PC与平面PBA所成角的正弦值为.33（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；（Ⅱ）求PA的长；（Ⅲ）求二面角P—MN—Q的余弦值.18、如图：已知在BCD中，90BCD，1BCCD，AC平面BCD，45ABC，E是AB的中点．（1）求直线BD和CE所成的角；（2）求点C到平面ABD的距离；（3）若F是线段AC上的一个动点，请确定点F的位置，使得平面ABD平面DEF．ABCDE19、如图，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，1ACBCCC，M为AB的中点，D在A1B1上且113ADDB．（I）求证：平面CMD⊥平面11ABBA；（II）求二面角CBDM的大小．九、直线、平面、简单几何体参考答案1、D；2、C；3、B；4、D；5、36；6、B；7、A；8、48；9、D；10、17174；11、D；12、62213.（I）证：三棱柱ABCABC111中BCBC11//，又BC平面ABC1，且BC11/平面ABC1，BC11//平面ABC1（II）证：三棱柱ABCABC111中AAAB1，RtAAB1中ABAB221BCABABC11，是等腰三角形，E是等腰ABC1底边AC1的中点，ACBE1①又依条件知ACED1②，且EDBEE③由①，②，③得AC1平面EDB（III）解：AAED1、平面AAC1，且AAED1、不平行，故延长AA1，ED后必相交，设交点为E，连接EF，如下图AMBDA1CC1B1ABE1是所求的二面角，依条件易证明RtAEFRtAAC11E为AC1中点，A为AF1中点，AFAAAB1ABAABF145，AFB190，即ABFB1又AE1平面EFB，EBFB，ABE1是所求的二面角的平面角E为等腰直角三角形ABC1底边中点，ABE145故所求的二面角的大小为4514、解:以A1B1所在直线为轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。（1）设E是BD的中点，∵P－ABCD是正四棱锥，ABCDPE，又2,6ABPA，2PE,)4,1,1(P，∴→B1D1=(－2,2,0)，→AP=(1,1,2)，∵→B1D1·→AP=0，∴→B1D1⊥→AP，即11PABD。（2）设平面PAD的法向量是m=(x,y,z)，∵→AD=(0,2,0)，→AP=(1,1,2)，∴→AD·m=0→AP·m=0y=0x+2z=0y=0x=－2z，取1z得m=(－2,0,1)，∴cosm,n=m·n|m||n|=－105，510arccos。15．解：如图所示，建立空间直角坐标系，O是底面的中心，Ox∥BC，Oy∥AB．则有关点的坐标为)6,0,0(S，)0,2,2(B，)0,2,2(C．∵P是SO的中点，Q是SBC的重心，∴它们的坐标为)3,0,0(P，)2,34,0(Q．（1）35)32()34(0222PQ．∴P、Q两点间的距离为35．（2）)1,34,0(PQ，)6,2,2(BS，设PQ、BS的夹角为，BS112，∴551113112356)1()2(34)2(0cosBSPQBSPQ．∴异面直线PQ、RS所成角的余弦值为551113．（3）E是BC的中点，可以证明直线OE是直线PQ在平面ABC上的射影．故PQ与OE所成角就是PQ与平面ABCD所成的角．点E的坐标为（0，2，0）∴OE=（0，2，0），PQ=（0，34，-1）．设PQ、OE的夹角为，则54235234cosOEPQOEPQ．∴PQ与平面ABCD所成的角为54arccos．16、（I）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，DA⊥AB，∵A点移动到了P点∴PD⊥PB，又∵P点在平面BCD上的射影在CD上，∴过P点作PF⊥CD∴PF⊥面BCD，∴BC⊥面PCD，∴BC⊥PD，∴PD⊥面PBC，∴PD⊥PC（II）解：∵PF⊥面BCD，∴过点F作FE⊥BD，连结PE∴∠PEF为二面角P—BD—C的平面角，∵PD⊥PC，∴△CPD为Rt△62,632PCCDPD，，PF22又∵在RtDPB中，PDPBBD23643，，，∴PE＝3sin∠PEF223，∠PEFarcsin223（III）解：过F点作FG⊥PE，由（2）可知FG⊥面PBD，连结GD∴∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角∵在RtPDF中，PDPF2322，，∴DF＝2∵在RtPFE中，PFPE223，，322,1FGEF，sin∠GDFFGDF23，∠GDFarcsin2317、解：（I）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（图略）.设PA=a，则A（0，0，0），B（2，0，0）C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，a），M（0，1，0），N（2，1，0）.)0,2,0(),,0,0(),0,0,2(ADaAPMN.0,0ADMNAPMN∴MN⊥平面PAD.∵MN平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.（II）),2,2(aPC平面PBA的一个法向量为)0,1,0(AMn.∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为33|,cos|,33nPC即.2,2,33|010)(222|222222PAaa即（III）由（I），MN⊥平面PAD，知PM⊥MN，MQ⊥MN，∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角.而.1010522cos,2222,5PMMQPMQMDMQPM18、解：（1）延长AC到G使CGAC，连结BG、DG，E是AB中点，所以//2BGCE．故直线BG和BD所成的锐角（或直角）就是CE和BD所成的角…2分∵AC平面BDC∴ACBC，又45ABC．∴1ACBCCD．E是AB中点，故22CE．所以2BG，又2BDDG，因此BDG为等边三角形．所以90DBG∴直线BD和CE所成的角是60（2）设C到平面ABD的距离为h，则13ABCDCABDABDVVSAC∵233(2)42ABDS，111122BCDS，1AC∴133223h（3）由上可知，2ABBDAD，又E是AB中点，故DEAB，由平面ABD平面DEFDE，∴应AB平面DEF故ABEF，即F应为过E的AB的垂线和AC的交点．由ACBC，所以AB的中垂线过C点，即F为C点