高考数学立体几何试题汇编

高考数学立体几何试题汇编一、选择题1．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱1111DCBAABCD中，ABAA21，则异面直线11ADBA与所成角的余弦值为（D）A．51B．52C．53D．542．（全国Ⅱ•理•7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（A）A．64B．104C．22D．323．（北京•理•3题）平面∥平面的一个充分条件是（D）A．存在一条直线aa，∥，∥B．存在一条直线aaa，，∥C．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥D．存在两条异面直线abaab，，，∥，∥4．（安徽•理•2题）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（安徽•理•8题）半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（）A．)33arccos(B．)36arccos(C．)31arccos(D．)41arccos(6．（福建•理•8题）已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（D）A．,,//,////mnmnB．//,,//mnmnC．,//mmnnD．//,mnnm7．（福建•理•10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离为（B）A．4B．2C．24D．228．（湖北•理•4题）平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是1m和1n，给出下列四个命题：①1m⊥1nm⊥n；②m⊥n1m⊥1n；③1m与1n相交m与n相交或重合；④1m与1n平行m与n平行或重合；其中不正确的命题个数是（D）A.1B.2C.3D.49．（湖南•理•8题）棱长为1的正方体1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（D）A．22B．1C．212D．210．（江苏•理•4题）已知两条直线,mn，两个平面,，给出下面四个命题：①//,mnmn②//,,//mnmn③//,////mnmn④//,//,mnmn其中正确命题的序号是（C）A．①③B．②④C．①④D．②③11．（江西•理•7题）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误．．的命题是（D）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（辽宁•理•7题）若mn，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m，，则mB．若mn，mn∥，则∥C．若m，m∥，则D．若，⊥，则13．（陕西•理•6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（B）A．433B．33C．43D．12314．（四川•理•4题）如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是（D）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1角为60°15．(宁夏•理•8题)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（B）Ａ．34000cm3Ｂ．38000cm3Ｃ．32000cmＤ．34000cm16．（四川•理•6题）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是2，且三面角B-OA-C的大小为3，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（C）A．67B．45C．34D．2317．（天津•理•6题）设ab，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（D）Ａ．若ab，与所成的角相等，则ab∥Ｂ．若ab，∥∥，∥，则ab∥Ｃ．若abab，，∥，则∥Ｄ．若ab，，，则ab18．（浙江•理•6题）若P是两条异面直线,lm外的任意一点，则（B）A．过点P有且仅有一条直线与,lm都平行B．过点P有且仅有一条直线与,lm都垂直C．过点P有且仅有一条直线与,lm都相交D．过点P有且仅有一条直线与,lm2020正视图20侧视图101020俯视图都异面二、填空题19．（全国Ⅰ•理•16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为23。20．（全国Ⅱ•理•15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为242cm2。21．（安徽•理•15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是（写出所有正确结论的编号．．）。①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。22．（江苏•理•14题）正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是．23．（辽宁•理•15题）若一个底面边长为32，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为．24．（上海•理•10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面,与两直线12,ll，又知12,ll在内的射影为12,ss，在内的射影为12,tt。试写出12,ss与12,tt满足的条件，使之一定能成为12,ll是异面直线的充分条件12,ss平行，12,tt相交。25．（四川•理•14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是6．26．（天津•理•12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14π．27．（浙江•理•16题）已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且45POB。若对于内异于O的任意一点Q，都有45POQ，则二面角AB的大小是____90____。三、解答题27．（全国Ⅰ•理•19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=22，SA＝SB＝3。(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；解答：解法一：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2AO，得1SO，11SD．SAB△的面积22111222SABSAAB．连结DB，得DAB△的面积21sin13522SABAD设D到平面SAB的距离为h，由于DSABSABDVV，得121133hSSOS，解得2h．设SD与平面SAB所成角为，则222sin1111hSD．所以，直线SD与平面SBC所成的我为22arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，，(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．DBCASOEGyxzODBCAS（Ⅱ）取AB中点E，22022E，，，连结SE，取SE中点G，连结OG，221442G，，．221442OG，，，22122SE，，，(220)AB，，．0SEOG，0ABOG，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG平面SAB，OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余．(2220)D，，，(2221)DS，，．22cos11OGDSOGDS，22sin11，所以，直线SD与平面SAB所成的角为22arcsin11．28．（全国Ⅱ•理•19题）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD=2CD，求二面角A－EF－D的大小；解法一：（1）作FGDC∥交SD于点G，则G为SD的中点．连结12AGFGCD∥，，又CDAB∥，ABCDPEF第38题图OCADB第39题图故FGAEAEFG∥，为平行四边形．EFAG∥，又AG平面SADEF，平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设2DC，则42SDDGADG，，△为等腰直角三角形．取AG中点H，连结DH，则DHAG⊥．又AB⊥平面SAD，所以ABDH⊥，而ABAGA，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连结MH，则HMEF⊥．连结DM，则DMEF⊥．故DMH为二面角AEFD的平面角2tan21DHDMHHM．所以二面角AEFD的大小为arctan2．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设(00)(00)AaSb，，，，，，则(0)(00)BaaCa，，，，，，00222aabEaF，，，，，，02bEFa，，．取SD的中点002bG，，，则02bAGa，，．EFAGEFAGAG，∥，平面SADEF，平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设(100)A，，，则11(110)(010)[phone]BCSEF，，，，，，，，，，，，，，．EF中点111111(101)0222222MMDEFMDEFMDEF，，，，，，，，，，⊥又1002EA，，，0EAEFEAEF，⊥，AAEBCFSDGMyzx所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．3cos3MDEAMDEAMDEA，．所以二面角AEFD的大小为3arccos3．29．（北京•理•16题）如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．解法一：（I）由题意，COAO，BOAO，BOC是二面角BAOC是直二面角，又二面角BAOC是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，又CO平面COD．平面COD平面AOB．（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DEAO∥，CDE是异面直线AO与CD所成的角．在RtCOE△中，2COBO，112OEBO，225CECOOE．又132DEAO．在RtCDE△中，515tan33CECDEDE．异面直线AO与CD所成角的大小为15arctan3．（III）由（I）知，CO平