高考数学平面向量练习1

专题四:平面向量瓶窑中学赵辛【考点审视】：向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.有关向量的命题，具有很强的时代气息，深受命题者的喜爱.综观近几届高考，向量由只考关于向量概念或运算小题，到考察以向量为背景的解析几何大题.尤其与圆锥曲线的综合有一定难度.在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，运用空间向量的坐标和数量积解决角度、长度的问题，比传统立体几何方法更简便快捷.向量与三角函数有着密切的联系，一个以向量和三角函数为载体的数学问题能考察中学数学多方面的内容，更能考察学生的创新意识和创造性解决问题的能力，所以向量内容在高考中的分值会逐渐增加.平面向量大题在以前高考卷很少单独出现，估计以后将会成为高考的一个命题点.但在高考中,平面向量与其他章节的综合题已经出现，因此，在复习中一方面要重视教材的基础作用，加强基础知识的学习.做到概念清、运算准，对于定比分点、图形平移等要掌握公式及寻求规律；另一方面，也要注意综合能力的训练，平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考重点，复习中要注意培养准确运算能力和灵活运用知识的能力.【疑难点拨】1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a＞b”错了，而|a|＞|b|才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（yx,）,其中x、y满足2x2y＝1（可用（cos,sin）（0≤≤2π）表示）.⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.①当两个向量a和b不共线时，ab的方向与a、b都不相同，且|ab|＜|a|＋|b|；②当两个向量a和b共线且同向时，ab、a、b的方向都相同，且||ba||||ba；③当向量a和b反向时，若|a|＞|b|，ba与a方向相同，且|ba|=|a|-|b|；若|a|＜|b|时,ba与b方向相同，且|a＋b|=|b|-|a|.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如，ABBC0CA,（在△ABC中）CDBCAB0DA.(□ABCD中)⑷判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量a，b，使a=λb（λ∈R），那么a∥b；反之，如a∥b，且b≠0，那么a=λb.这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与λb的方向规定为平行.⑸数量积的8个重要性质①两向量的夹角为0≤≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.②设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，则)1||.(cos||eaeaae③ba0ba（∵=90°，)0cos④在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中ba=0a=0或b=0是错误的，故0a或0b是ba=0的充分而不必要条件.⑤当a与b同向时ba=||||ba(=0,cos=1);当a与b反向时，ba=-||||ba(=π,cos=-1)，即a∥b的另一个充要条件是||||||baba.特殊情况有2aaa=2||a.或||a=aa=2a=22yx.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x,1y),(2x,2y),则||a=221221)()(yyxx⑥||||||baba。（因1cos）⑦数量积不适合乘法结合律.如).()(cbacba（因为cba)(与c共线，而)(cba与a共线）⑧数量积的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且cbca并不能得到ba这是因为向量不能作除数，即c1是无意义的.6．与平面向量基本定理及平移有关的问题⑴平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.⑵平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。⑶点的平移公式：点),(yxP按给定平移向量),,(kha平移后得新点),(yxp的坐标公式为;,kyyhxx反之，由新点求旧点公式变为;,kyyhxx由新旧两点求平移向量公式为.,yykxxh⑷图象（图形）平移：给定平移向量a=(),kh，由旧解析式求新解析式，用公式kyyhxx,代入旧解析式中，整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式kyyhxx,代入新式，整理得到。应用以上公式要注意公式中平移前的坐标),(yx、平移后的坐标),(yx、平移向量坐标),(kh都在同一坐标系中。确定平移向量一般可采用如下两种方法：其一，配凑法：按题目要求进行配凑，如将3)63sin(2xy化简，即可配凑为：),18(3sin23xy则公式为318''yyxx此时平移向量为).3,18(其二，待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出.,kh【经典题例】【例1】ba,是不共线的两个向量,已知,2,,2baCDbaBCbkaAB若DBA,,三点共线,求k值.【思路分析】由于DBA,,三点共线,因此必存在实数,使BDAB,因而可根据已知条件和向量相等的条件得到关于k,的方程,从而求k.解:略∴k=-1.【点评】用向量共线的充要条件有时可以很容易解决几何中的三点共线问题.【例2】证明三角形三条高线交于一点.【思路分析】此题可利用“形”、“数”结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，则问题解决更简洁、更易接受.证明：如图建立直角坐标系，设)0,(),,0(),0,(231xOCyOAxOByOP,0(,)0,321yyxxCABPCABP),(321yyxxABCP,0ABCP所以CP是AB上的高，故ABC的三条高交于一点P.【点评】本题把两直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的数量积是否为零的问题.【例3】已知向量321,,OPOPOP满足条件OOPOPOP321,1||||||321OPOPOP,求证:△321PPP是正三角形.【思路分析】观察条件中的两个等式,联系向量模及加法的几何意义,可构造图形巧证.如图1.又据条件易知O为定点,故可适当选取坐标系,借助向量的坐标运算,将几何问题代数化.如图2.也可联想三角知识进行坐标选取.如)sin,(cos),sin,(cos),sin,(cos321OPOPOP使得选取具有任意性.且巧妙运用了三角变形.证明321PPP为正三角形可从边或角的关系着手，联系两个向量数量积的有关知识可获得两种证法.0AxyPCB证法一：如图1略.证法2如图2略.证法三：据|1OP|=1||||32OPOP，令).sin,(cos),sin,(cos),sin,(cos321OPOPOP由OOPOPOP321得0sinsinsin0coscoscos可求得|1OP|=3||||32OPOP，所以321PPP为正三角形.证法四：设,,,321cOPbOPaOP由已知得21ba|1OP|=3||||32OPOP，所以321PPP为正三角形。证法五：同证法四求得21ba，于是cos21OPP=21||||baba所以12021OPP，由此可证321PPP为正三角形.【点评】以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.【例4】如图，已知点G是△ABO的重心，⑴求GOGBGA;⑵若PQ过△ABO的重心G，且,,bOBaOA,,bnOQamOP求证：.311nm【思路分析】充分运用向量的几何形式运算.及向量平行的定理及推论,把相关向量用已知向量表示即可.解：⑴.0GOGBGA⑵显然OM).(21ba因为G是ABC的重心，所以OG32OM=)(31ba由P、G、Q三点共线,有GQPG,共线,所以,有且只有一个实数,.GQPG而OPOGPG,31)31()(31bamambaGQ=OQ-OG=P1P1PP1P3P1P2P1OP1图1P3P2OP1AMBQOPGbnababn)31(31)(31,所以bam31)31(=])31(31[bna.又因为a、b不共线,所以)31(313131nm,消去,整理得3mn=nm,故311nm.【点评】建立m与n的关系关键是由QGP,,三点共线得出.为此要熟练运用已知向量表示未知向量.【例5】如图,直三棱柱ABC—111CBA,底面ABC中,1CBCA,∠90BCA°,棱21AA，MN分别是11BA,1AA的中点.z⑴求BN的长;⑵求cos〈1BA,1CB〉的值;⑶求证BA1⊥MC1.【思路分析】以C为原点建立空间坐标系,写出有关点的坐标,并进行有关运算.解:如图,以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz.⑴依题意得B=(0,1,0),N=(1,0,1).∴|BN|=222)01()10()01(=3.⑵依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).∴1BA=(1,-1,2),1CB=(0,1,2).,311CBBA|1BA|=6,|1CB|=5,∴cos〈1BA,1CB〉||||1111CBBACBBA=1030⑶依题意得1C(0,0,2),M()2,21,21BA1=(-1,1,-2),MC1=(,21)0,21.MCBA11=002121.x0(C)AA1BNMB1C1y∴BA1⊥MC1，∴BA1⊥CM1.【点评】利用题中已知条件,选取恰当点建立空间坐标系,并写出相应点的坐标是这类题的关键.【例6】四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,AB}4,1,2{,AD={4,2,0},AP={-1,2,-1}.⑴求证:PA⊥底面ABCD;⑵求四棱锥P—ABCD的体积;⑶对于向量},,,{},,,{},,,{333222111zyxczyxbzyxa定义一种运算:(a×)bc=.123312231213132321zyxzyxzyxzyxzyxzyx试计算(AB×AD)AP的绝对值的值;说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算(AB×AD)AP的绝对值的几何意义.【思路分析】根据所给向量的坐标,结合运算法则进行运算.解:⑴∵0422ABAP∴AP⊥AB又∵,0044ADAPAP⊥AD,∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD。⑵设AB与AD的夹角为，则,10534161614028||||cosADABADABV=|31AB||AD|sin|AP|=161411059110532⑶|(AB×AD)AP|=|-4-32-4-8|=48.它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.猜测:|(AB×AD)A