高考数学普通高等学校春季招生考试2

高考数学普通高等学校春季招生考试2数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页。第II卷3至9页，共150分，考试时间120分钟。第I卷（选择题共50分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式sincos[sin()sin()]cossin[sin()sin()]1212coscos[cos()cos()]sinsin[cos()cos()]1212正棱台、圆台的侧面积公式Sccl台侧12(')其中cc'，分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式VR球433其中R表示球的半径一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）在函数yxyxyxytgxsinsincos22，，，中，最小正周期为的函数是（）A.yxsin2B.yxsinC.yxcosD.ytgx2（2）当231m时，复数zmmi()()321在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（3）双曲线xy22491的渐近线方程是（）A.yx32B.yx23C.yx94D.yx49（4）一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（）A.30B.45C.60D.75（5）在极坐标系中，圆心在()2，且过极点的圆的方程为（）A.22cosB.22cosC.22sinD.22sin（6）已知sin()cos()00，，则下列不等关系中必定成立的是（）A.tgctg22B.tgctg22C.sincos22D.sincos22（7）已知三个不等式：abbcadcadb000，，（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3（8）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）A.77cmB.72cmC.55cmD.102cm（9）在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A.CC61942B.CC61992C.CC1003943D.PP1003943（10）期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）A.4041B.1C.4140D.2第II卷（非选择题共100分）注意事项：1.第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（11）若fx1()为函数fxx()lg()1的反函数，则fx1()的值域是_________。（12）sin()sin()cos3030的值为____________。（13）据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨。（14）若直线mxny30与圆xy223没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆xy22731的公共点有_________个。三.解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题满分13分）当01a时，解关于x的不等式aaxx212。（16）（本小题满分13分）在ABC中，a，b，c分别是ABC，，的对边长，已知a，b，c成等比数列，且acacbc22，求A的大小及bBcsin的值。（17）（本小题满分15分）如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB3。SMDCAB（I）求证BCSC；（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。（18）（本小题满分15分）已知点A（2，8），BxyCxy()()1122，，，在抛物线ypx22上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）yBOAFMxC（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（II）求线段BC中点M的坐标；（III）求BC所在直线的方程。（19）（本小题满分14分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pfx()的表达式；（II）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）（20）（本小题满分14分）下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）……aj1……712（）（）（）……aj2……（）（）（）（）（）……aj3……（）（）（）（）（）……aj4………………………………………………ai1ai2ai3ai4ai5……aij………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数。（I）写出a45的值；（II）写出aij的计算公式；（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。【试题答案】2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（理工农医类）（北京卷）参考解答一.选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）A（2）D（3）A（4）C（5）B（6）B（7）D（8）C（9）C（10）B二.填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（11）()1，（12）1（13）ab()1ab()15（14）0322mn2三.解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）本小题主要考查不等式的解法、指数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分。解：由01a，原不等式可化为212xx这个不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：210201xx()或2102021222xxxx()()解不等式组(1)得解集{|}xx122解不等式组(2)得解集{|}xx25所以原不等式的解集为{|}xx125（16）本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分13分。解：（I）abc，，成等比数列bac2又acacbc22bcabc222在ABC中，由余弦定理得cosAbcabcbcbc2222212A60（II）解法一：在ABC中，由正弦定理得sinsinBbAabacA260，bBcbcasinsinsin2606032解法二：在ABC中，由面积公式得1212bcAacBsinsinbacAbcAbBbBcA226032，sinsinsinsin（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分15分。（I）证法一：如图1SMDCAB图1底面ABCD是正方形BCDCSD底面ABCDDC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得BCSC证法二：如图1底面ABCD是正方形BCDCSD底面ABCDSDBC，又DCSDDBC平面SDCBCSC（II）解法一：SD底面ABCD，且ABCD为正方形可以把四棱锥SABCD补形为长方体ABCSABCD111，如图2面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，SCBCBCASSCAS，//11又SDAS1CSD为所求二面角的平面角在RtSCB中，由勾股定理得SC2在RtSDC中，由勾股定理得SD1CSD45即面ASD与面BSC所成的二面角为45SA1MDCBAB1C1图2解法二：如图3过点S作直线lAD//l在面ASD上底面ABCD为正方形lADBC////l在面BSC上l为面ASD与面BSC的交线SDADBCSClSDlSC，，CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角。（以下同解法一）DABMSCl图3（III）解法一：如图3SDADSDA190，SDA是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点DMSABAADBASDADSDD，，BA面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得DMSB异面直线DM与SB所成的角为90解法二：如图4取AB中点P，连结MP，DP在ABS中，由中位线定理得MP//SBDMP是异面直线DM与SB所成的角MPSB1232又DMDP22112522，()在DMP中，有DPMPDM222DMP90异面直线DM与SB所成的角为90DABMSCP图4（18）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力。满分15分解：（I）由点A（2，8）在抛物线ypx22上，有8222p解得p16所以抛物线方程为yx232，焦点F的坐标为（8，0）（II）如图，由F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且AFFM2设点M的坐标为()xy00，，则221288212000xy，解得xy00114，所以点M的坐标为()114，yBOAFMxC（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴。设BC所成直线的方程为ykxk4110()()由ykxyx411322()消x得kyyk232321140()所以yyk1232由（II）的结论得yy1224解得k4因此BC所在直线的方程为yx4411()即4400xy（19）本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x01006051002550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。（II）当0100x时，P60当100550x时，Pxx600021006250.()当x550时，P51所以PfxxxxxNx()()600100625010055051550（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则LPxxxxxxxNxx()()402001002250100550115502当x500时，L6000；当x1000时，L11000因此