高考数学普通高等学校招生全国统一考试42

高考数学普通高等学校招生全国统一考试42满分150分第I卷参考公式：三角函数的积化和差公式函数求导公式sincos＝12[sin(＋)＋sin(－)](u±v)’＝u’±v’cossin＝12[sin(＋)－sin(－)](uv)’＝u’v＋uv’coscos＝12[cos(＋)＋cos(－)](uv)’＝u’v－uv’v2（v≠0）sinsin＝－12[cos(＋)－cos(－)]f’((x))＝f’(u)’(x)，其中u＝(x)锥体体积公式球的体积公式V锥体＝13ShV球体＝43R3其中S表示底面积，h表示高其中R表示球的半径一.选择题（共12小题，每题5分，计60分）（1）已知平面向量a＝（3，1），b＝（x，–3），且a⊥b，则x＝（A）–3（B）–1（C）1（D）3（2）已知A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x≤6}，则A∩B＝（A）[3,2)(1,2]（B）[3,2)(1,)（C）(3,2][1,2)（D）(,3](1,2]（3）设函数2322(2)()42(2)xxfxxxax在x＝2处连续，则a＝（A）－12（B）－14（C）14（D）13（4）123212lim11111nnnnnnnn的值为（A）–1（B）0（C）12（D）1（5）函数f（x）＝2sin4x－2sin4x是（A）周期为的偶函数（B）周期为的奇函数（C）周期为2的偶函数（D）周期为2的奇函数（6）一台X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（A）0.1536（B）0.1808（C）0.5632（D）0.9728（7）在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（A）23（B）76（C）45（D）56（8）若双曲线2x2－y2＝k（k＞0）的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k＝（A）6（B）8（C）1（D）4（9）当0＜x＜4时，函数f（x）＝22coscossinsinxxxx的最小值是（A）4（B）12（C）2（D）14（10）变量x、y满足下列条件：212293623240,0xyxyxyxy，则使z＝3x＋2y的值最小的（x，y）是（A）（4.5，3）（B）（3，6）（C）（9，2）（D）（6，4）（11）若()tan4fxx，则（A）(1)f＞(0)f＞(1)f（B）(0)f＞(1)f＞(1)f（C）(1)f＞(0)f＞(1)f（D）(0)f＞(1)f＞(1)f（12）如右下图，定圆半径为a，圆心为（b，c），则直线ax＋by＋c＝0与直线x–y＋1＝0的交点在（A）第四象限（B）第三象限（C）第二象限（D）第一象限yxO二.填空题（共4小题，每题4分，计16分）（13）某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是（用分数作答）（14）已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝.（15）由图（1）有面积关系：PABPABSPAPBSPAPB，则由图（2）有体积关系：PABCPABCVV＝.（16）函数()ln(11)fxx（x＞0）的反函数1()fx＝.三.解答题（共6小题，74分）（17）（12分）已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列.求α，β，γ的值.（18）（12分）如右下图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB＝FB＝1.（Ⅰ）求二面角C—DE—C1的正切值;（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值.（19）（12分）设函数1()1fxx（x＞0）.（Ⅰ）证明:当0＜a＜b，且()()fafb时，ab＞1;（Ⅱ）点P（x0，y0）(0＜x0＜1)在曲线()yfx上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式（用x0表达）.（20）（12分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）BAPB’A’图1BAPB’A’CC’图2ABCDFEA1B1C1D1（21）（12分）设函数()ln()fxxxm，其中常数m为整数.（Ⅰ）当m为何值时，()fx≥0；（Ⅱ）定理:若函数g（x）在[a，b]上连续，且g（a）与g（b）异号，则至少存在一点x0∈（a，b），使g（x0）＝0.试用上述定理证明：当整数m＞1时，方程f（x）＝0，在[e－ｍ－m，e2ｍ－m]内有两个实根.（22）（14分）设直线l与椭圆2212516xy相交于A、B两点，l又与双曲线x2－y2＝1相交于C、D两点，C、D三等分线段AB.求直线l的方程.参考答案一、选择题CACABDDAABDB二、填空题：（13）75（14）－2i(15)PCPBPAPCPBPA'''(16))(22Rxeexx三、解答题17．解：∵α，β，γ成公比为2的等比数列，∴β＝2α，γ＝4α∵sinα，sinβ，sinγ成等比数列21cos,1cos01coscos21cos2cos2sin4sinsin2sinsinsinsinsin22或解得即当cosα＝1时，sinα＝0，与等比数列的首项不为零，故cosα＝1应舍去，316,38,3438,34,32,3432,]2,0[,21cos或所以或时当18．解：（I）以A为原点，1,,AAADAB分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)于是，)2,2,4(),2,3,1(),0,3,3(11FDECDE设向量),,(zyxn与平面C1DE垂直，则有22tan36400411220101||||cos,)2,0,0(,),2,1,1(0),2,1,1(2),2,2(21023033101011011001AAnAAnCDECAAnCDEAADECnnzzzzznzyxzyxyxECnDEn的平面角为二面角所成的角与垂直与平面向量垂直的向量是一个与平面则取其中（II）设EC1与FD1所成角为β，则142122)4(2312223)4(1||||cos2222221111FDECFDEC19.证明：（I）),1(,11]1,0(,11|11|)(xxxxxxf故f(x)在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数，由0＜a＜b且f(a)＝f(b)得0＜a＜1＜b和abbaabbaba22211,1111即故1,1abab即（II）0＜x＜1时，10,1)(,11|11|)(0200'xxfxxxfyx曲线y＝f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：002002002),(1xxxyxxyyxx即∴切线与x轴、y轴正向的交点为)2(1,0()0),2((0000xxxx和故所求三角形面积听表达式为：2000000)2(21)2(1)2(21)(xxxxxxA20．解：如图，yxoABCP以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x，y）为巨响发生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|＝|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|＝340×4＝1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线12222byax上，依题意得a＝680，c＝1020，13405680340568010202222222222yxacb故双曲线方程为用y＝－x代入上式，得5680x，∵|PB|＞|PA|，10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450，距中心m10680处.21.（I）解：函数f(x)＝x－ln(x＋m)，x∈(－m，＋∞)连续，且mxxfmxxf1,0)(,11)(''得令当x∈(－m，1－m)时，f’（x）＜0，f(x)为减函数，f(x)＞f(1－m)当x∈(1－m，＋∞)时，f’（x）＞0，f(x)为增函数，f(x)＞f(1－m)根据函数极值判别方法，f(1－m)＝1－m为极小值，而且对x∈(－m，＋∞)都有f(x)≥f(1－m)＝1－m故当整数m≤1时，f(x)≥1－m≥0(II)证明：由（I）知，当整数m＞1时，f(1－m)＝1－m＜0，函数f(x)＝x－ln(x＋m)，在]1,[mmem上为连续减函数.,)1()(,10)ln()(异号与时当整数mfmefmemmememefmmmmm由所给定理知，存在唯一的0)(),1,(11xfmmexm使而当整数m＞1时，),1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmm类似地，当整数m＞1时，函数f(x)＝x－ln(x＋m)，在],1[memm上为连续增函数且f(1－m)与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(],,,1[22xfmemxm使故当m＞1时，方程f(x)＝0在],[2mememm内有两个实根。22．解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y＝kx＋b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：),(),,(),,(),,(44332211yxDyxCyxByxAyxolABCD依题意有CDABDBAC3,，由)2...(0)1(2)1(1251650)1...(0)40025(2)2516(116252222222122222bbkxxkyxbkxykbkxxbbkxxkyxbkxy得由得若1k，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故1k24312kbkxx由43214213xxxxxxxxDBAC13161616410),(331)2(,1645)1(,0)(0001225165022341224,322,122bbbxxxxCDABbxbxkibkbkkbkkbk即由得由得由时当或故l的方程为1316y(ii)当b＝0时，由(1)得24,322,111)2(,251620kxkx得由由251616251640)(33223412kkkxxxxCDAB即由故l的方程为xy2516再讨论l与x轴垂直的情况.设直线l的方程为x＝c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，241241252412412516