高考数学普通高等学校招生全国统一考试106

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高考数学普通高等学校招生全国统一考试106本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页,满分150分,考试用时120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上,参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)-P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(A,B)-P(A)=P(B)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项。(1)定义集合运算:A⊙B=﹛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B﹜,设集合A(0,1),B(2,3),则集合A⊙B的所有元素之和为(A)0(B)6(C)12(D)18(2)设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx<,则的值为,(A)0(B)1(C)2(D)3(3)函数的反函数的图象大致是<<)10(12aay(A)(B)(C)(D)(4)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(-4,6)(D)(4,-6)(5)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为(A)-1(B)0(C)1(D)2(6)在ΔABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知A=3,a=3,b=1,则c=(A)1(B)2(C)3-1(D)3(7)在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为(A)22(B)2(C)2(D)22(8)正方体的内切球与其外接球的体积之比为(A)1∶3(B)1∶3(C)1∶33(D)1∶9(9)设p∶22,xxq<0∶12xx<0,则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)已知(xx12)n的展开式中第三项与第五项的系数之比为143,则展开式中常数项是(A)-1(B)1(C)-45(D)45(11)已知集集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为(A)33(B)34(C)35(D)36(12)已知x和y是正整数,且满足约束条件.72,2,10xyxyx则x-2x3y的最小值是(A)24(B)14(C)13(D)11.5普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修Ⅰ)第Ⅱ卷(共90分)注意事项:1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,答案须填在题中横线上。(13)某学校共有师生2400人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为160的样本,已知从学生中抽取的人数为150,那么该学校的教师人数是.(14)设nS为等差数列na的前n项和,4S=14,20S-7S=30,则8S=.(15)已知抛物线xy42,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211yxByx、两点,则y2211y的最小值是(16)如图,在正三棱柱ABC-111CBA中,所有棱长均为1,则点B1到平面ABC1的距离为.三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)设函数f(x)=3223(1)1,1.xaxa其中(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值.(18)(本小题满分12分)已知函数f(x)=A2sin()(000)2xA>,>,<<,且y=f(x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点(1,2).(Ⅰ)求;(Ⅱ)计算f(1)+f(2)+…+f(2008).(19)(本小题满分12分)盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意任取3张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求:(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率;(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念;(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.(20)(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形,AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O,且顶点P在底面上的射影恰为O点,又BO=2,PO=2,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直接PD与BC所成角的余弦值;(Ⅱ)求二面角P-AB-C的大小;(Ⅲ)设点M在棱PC上,且,PMMC问为何值时,PC⊥平面BMD.(21)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为l.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当ΔAOB面积取得最大值时,求直线l的方程.(22)(本小题满分14分)已知数列{na}中,11122nnanaa、点(、)在直线y=x上,其中n=1,2,3….(Ⅰ)令是等比数列;求证数列nnnnbaab,31(Ⅱ)求数列的通项;na(Ⅲ)设分别为数列、nnTS、nanb的前n项和,是否存在实数,使得数列nnSTn为等差数列?若存在,试求出.若不存在,则说明理由。答案普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案一、选择题1、D2、C3、A4、D5、B6、B7、C8、C9、A10、D11、A12、B二、填空题13、15014、5415、3216、217三、解答题17.解:由已知得'()6(1)fxxxa,令'()0fx,解得120,1xxa.(Ⅰ)当1a时,'2()6fxx,()fx在(,)上单调递增当1a时,'()61fxxxa,'(),()fxfx随x的变化情况如下表:x(,0)0(0,1)a1a(1,)a'()fx+00()fx极大值极小值从上表可知,函数()fx在(,0)上单调递增;在(0,1)a上单调递减;在(1,)a上单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当1a时,函数()fx没有极值.当1a时,函数()fx在0x处取得极大值,在1xa处取得极小值31(1)a.18.解:(I)2sin()cos(22).22AAyAxx()yfx的最大值为2,0A.2,2.22AAA又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0,12()2,.22422()cos(2)1cos(2)2222fxxx.()yfx过(1,2)点,cos(2)1.2x22,,2xkkZ22,,2kkZ,,4kkZ又∵0,24.(II)解法一:4,1cos()1sin.222yxx(1)(2)(3)(4)21014ffff.又()yfx的周期为4,20084502,(1)(2)(2008)45022008.fff解法二:2()2sin()4fxx223(1)(3)2sin()2sin()2,44ff22(2)(4)2sin()2sin()2,2ff(1)(2)(3)(4)4.ffff又()yfx的周期为4,20084502,(1)(2)(2008)45022008.fff19.解:(I)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,由题意12212626389()14CCCCPAC(II)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B,则2126383()28CCPBC(III)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C,“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D,由题意,C与D是对立事件,因为121436383()7CCCPDC所以34()1()177PCPD.20.解法一:PO平面ABCD,POBD又,2,2PBPDBOPO,由平面几何知识得:1,3,6ODPDPB(Ⅰ)过D做//DEBC交于AB于E,连结PE,则PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角,四边形ABCD是等腰梯形,1,2,OCODOBOAOAOB5,22,2BCABCD又//ABDC四边形EBCD是平行四边形。5,2EDBCBECDE是AB的中点,且2AE又6PAPB,PEA为直角三角形,22622PEPAAE在PED中,由余弦定理得222354215cos215235PDDEPEPDEPDDE故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为21515(Ⅱ)连结OE,由(Ⅰ)及三垂线定理知,PEO为二面角PABC的平面角2sin2POPEOPE,045PEO二面角PABC的大小为045(Ⅲ)连结,,MDMBMO,PC平面,BMDOM平面BMD,PCOM又在RtPOC中,3,1,2PCPDOCPO,233,33PMMC,2PMMC故2时,PC平面BMD解法二:PO平面ABCDPOBD又PBPD,2,2BOPO,由平面几何知识得:1,2ODOCBOAO以O为原点,,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标为(0,0,0)O,(2,0,0)A,(0,2,0)B,(1,0,0)C,(0,1,0)D,(0,0,2)P(Ⅰ)(0,1,2)PD,(1,2,0)BC,3,5,2PDBCPDBC。cos,PDBCPDBCPDBC21515。故直线PD与BC所成的角的余弦值为21515(Ⅱ)设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz,由于(2,2,0)AB,(2,0,2)AP,由00nABnAP得2xyzx取(1,1,2)n,又已知平面ABCD的一个法向量(0,0,1)m,2cos,2mnmnmn又二面角PABC为锐角,所求二面角PABC的大小为45(Ⅲ)设00(,0,)Mxy,由于,,PMC三点共线,0022zx,PC平面BMD,OMPC00(1,0,2)(,0,)0xz0020xz由(1)(2)知:023x,023z。22(,0,)33M2PMMC故2时,PC平面BMD。21.解:设椭圆方程为22221()xyabcab(Ⅰ)由已知得222224bcacabc222211abc∴所求椭圆方程为2212xy.(Ⅱ)解法一:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为11222,(,),(,)ykxAxyBxy由22212ykxxy,消去y得关于x的方程:22(12)860kxkx由直线l与椭圆相交于A、B两点,2206424(12)0kk解得232k又由韦达定理得122122812612kxxkxxk222121212||1||1()4ABkxxkxxxx2221162412kkk原点O到直线l的距离221dk2222116242223||21212AOBkkSABdkk.解法1:对22162412kSk两边平方整理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