高考数学求线与面的角测试

幻网络()数百万免费课件下载，试题下载，教案下载，论文范文，计划总结梦幻网络()——最大的免费教育资源网站（例1图）一、求线与面的角※直线与平面所成的角,是直线与平面的法向量所成的角（取锐角）的余角。如图，已知PA为平面的一条斜线，n为平面的一个法向量，过P作平面的垂线PO，连结OA则PAO为斜线PA和平面所成的角记，易得|),2sin(|sinAPOP|||||||,cos||,cos||,cos|PAnPAnPAnAPnAPOP则=PAnPAnarcsin【例1】如图，在几何体ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=900，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点。（1）证明：DF//平面ABC（略）（2）求AB与平面BDF所成角的大小。解：以B为原点，BA、BC、BE所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系（如图）。设平面BDF的一个法向量),,2(ban00,,BDnDFnBDnDFn则，而)0,2,1(),1,2,0(DFBD则得2101,2,0,,200,2,1,,2bababa所以)2,1,2(n又设AB与平面BDF所成角为，则法线n与BA所成的角为2nAPOyzBACDEFx3232)2,1,2()0,0,2()2cos(nBAnBA即32sin，故AB与平面BDF所成的角为32arcsin用法向量求解,不用作出AB与平面BDF所成的角,从而避开了作图的难度。二、求线与面平行※直线与平面平行是直线与平面的法向量垂直问题，只取和直线平行的向量，验证该向量和平面的法向量的内积是否为零即可。【例2】如图，四棱锥P-ABCD中PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为450，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=900，PA=BC=21AD=a（1）求证：平面PAC⊥平面PCD（略）（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由。解：分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图）则P(0,0,a),C(a,a,0),D(0,2a,0)设在棱PD上存在点E坐标为(0,y,z),则aaPDazyPE,2,0,,,002,//azayPDPE0,2,0aAD是平面PAB的法向量，又zayaCE,,由CE//面PAB，00,2,0,,azayaADCE,ay代入得2az∴E是PD中点，即存在点E)21,,0(aa使得CE//面PAB。三、求二面角的大小※如图在二面角l中1n和2n分别为AxBzCEDyP（例2图）1n2n2n平面和的法向量若二面角l,记二面角l的大小为。（ⅰ）若该二面角为锐二面角，则21,nn或21,nn(依据两平面法向量的方向而定)，但总有|,cos||cos|21nn=||||||2121nnnn，所以此时||||||arccos2121nnnn。（ⅱ）若二面角l为钝二面角，则21,nn或21,nn(依据两平面法向量的方向而定)，但总有|,cos||cos|21nn=||||||2121nnnn所以此时||||||arccos2121nnnn【例3】已知三棱锥P-ABCD中PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=600，AB=2，PA=4，E为PC的中点。(1)求证：平面BDE⊥平面ABCD(2)求B-DE-C的大小证明：（1）易证（略）（2）设AC∩BD=O，连结OE，以O为原点建立空间直角坐标系（如图）由（1）得OC为平面EBD的法量，)0,3,0(OC.设平面CDE的法向量),,(zyxn)2,3,0(),0,3,1(0,0CEDCCEnDCn则)23,3,3(,323302303nyyzyxzyyx则令192233333,cos222OCn,所以B-DE-C为192arccos。EAzyoxDCBP（例3图）1n2n1n四、求点到面的距离※如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离为||||||||||||sin||||nPAnPAnPAnPAPAPOd【例4】设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求D到平面ABC的距离。解：设平面ABC的法向量),,(zyxn0)6,0,4(),,(0)1,2,2(),,(0,0zyxzyxACnABn即)2,2,3(,223064022nzzyzxzxzyx则令317777722372)7(2)7(3,cos222222ADn∴点D到平面ABC的距离为17749cosADnADd五、求异面直线的距离※设L1、L2是两条异面直线，其公垂向量为n，又C、D分别是L1、L2上任意一点，则DBCDACABCDnnABCDnnABnnCDABnAPOL1L2ABCDn（例5图）则L1、L2间的距离nnCDd【例5】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求异面直线BD与B1C的距离。解：如图,建立空间直角坐标系，则),0,(),,()0,,0(),0,,(1aaaaaaCBaaDB设DB与B1C的公垂向量),,(zyxn则xzxyazaxayaxCBnDBn00001令x=－1，则)1,1,1(n又)0,0,(aCB，所以异面直线BD与B1C的距离为aannCBd333.xyzAA11BB1BCC1DD1