高考数学三角证明与计算考查

高考数学二轮复习三角证明与计算的综合考查【考点聚焦】考点1：同角的三角函数关系式；考点2：诱导公式；考点3：和、差、倍角公式考点4：正弦定理、余弦定理、面积公式。【考题形式】与倍角公式有关的计算与证明。【考点小测】1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43cos77sin43sin77cos120=－21．2．已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30º)的值为－13.如果cos＝51，且是第四象限的角，那么)2cos(＝解：已知226cos()sin(1cos)25；4.已知∈(2,)，sin=53,则tan(4)=解：由3(,),sin,25则3tan4，tan()4=1tan11tan7，。5新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知sinα=53，α∈(2，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______234()tantan743tan(2)341tantan2241()()436新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设α∈(43,4)，β∈(0，4)，cos(α－4)=53，sin(43+β)=135，则sin(α+β)=______6556新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆7.已知tan2=2，则tan()4=；；6sincos3sin2cos=。解：（I）∵tan2=2,∴22tan2242tan1431tan2;所以tantantan14tan()41tan1tantan4=41134713；（II）由(I),tanα=－34,所以6sincos3sin2cos=6tan13tan2=46()173463()23.8.（江苏卷）40cos270tan10sin310cos20cot＝【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值解：000000000000cos20cos103sin10sin70cot20cos103sin10tan702cos402cos40sin20cos70000000cos20cos103sin10cos202cos40sin2000000cos20(cos103sin10)2cos40sin2000000000000000000cos20(cos103sin10)2cos20(cos10sin30sin10cos30)2cos402cos40sin20sin202cos20sin402sin20cos402sin20【典型考例】【问题1】“拆项”与“添项”巧凑“和角、差角”公式★例1★（1）8sin15sin7cos8sin15cos7sin=32；（2）20cos20sin10cos2=3★例2★已知：41)2tan(,52)tan(，求：)4tan(的值.223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.【问题2】弦切互化★例3★P44例1★例4★P44例2P46T5（安徽卷）已知40,sin25（Ⅰ）求22sinsin2coscos2的值；（Ⅱ）求5tan()4的值。解：(Ⅰ)由40,sin25，得3cos5，所以22sinsin2coscos2＝22sin2sincos203cos1。（Ⅱ）∵sin4tancos3，∴5tan11tan()41tan7。【问题3】sincos与sincos对偶互化★例5★已知51cossin,02xxx.（I）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.思路分析：将sinx-cosx=51平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号.解法一：（Ⅰ）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得即.2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx又,0cossin,0cos,0sin,02xxxxx故.57cossinxx（Ⅱ）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx解法二：（Ⅰ）联立方程.1cossin,51cossin22xxx由①得,cos51sinxx将其代入②，整理得,012cos5cos252xx.54cos,53sin,02.54cos53cosxxxxx或故.57cossinxx（Ⅱ）xxxxxxcottan2cos2cos2sin2sin322xxxxxxsincoscossin1sin2sin22①②125108)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.★例6★：已知)3tan(sin,2572cos,1027)4sin(及求.解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos(sin22)4sin(1027，即57cossin①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(cos57)sin)(cossin(cossincos2cos25722故51sincos②由①式和②式得54cos,53sin.因此，43tan，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan313tan)4tan(解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得2sin212cos257解得53sin,259sin2即由57cossin,1027)4sin(可得由于057sincos,0cos57sin且，故在第二象限，于是53sin.从而5457sincos，以下同解法一.【问题4】向量与三角小综合★例7★已知向量528),2,(),cos,sin2()sin,(cosnmnm且和，求)82cos(的值.解法一：)sincos,2sin(cosnm22)sin(cos)2sin(cosnm)sin(cos224)4cos(44)4cos(12由已知528nm，得257)4cos(又1)82(cos2)4cos(2所以2516)82(cos20)82cos(898285,254)82cos(解法二：nmnmnnmmnmnm22)(22222]cossin)sin2([cos2)cos)sin2(()sincos(2222222)82(cos8)]4cos(1[4)sin(cos2242由已知528nm，得54)82cos(0)82cos(898285,254)82cos(★例7★．已知,,ABC是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1mn.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若221sin23cossinBBB，求tanB.解：（Ⅰ）∵1mn∴1,3cos,sin1AA即3sincos1AA312sincos122AA,1sin62A∵50,666AA∴66A∴3A（Ⅱ）由题知2212sincos3cossinBBBB，整理得22sinsincos2cos0BBBB∴cos0B∴2tantan20BB∴tan2B或tan1B而tan1B使22cossin0BB，舍去∴tan2B∴tantanCABtanABtantan1tantanABAB2312385311★例9★．已知向量25(cossin)(cossin)||5aααbββab，，=，，，(1)求cos()αβ的值；(2)若500sinsin2213ππαββα，，且，求的值。解：(1)因为(cossin)(cossin)aααbββ，，=，，所以(coscossinsin)abαβαβ，，又因为25||5ab，所以2225(coscos)(sinsin)5αβαβ，即4322cos()cos()55αβαβ，；(2)00022ππαβαβπ，，，又因为3cos()5αβ，所以4sin()5αβ，5sin13β，所以12cos13β，所以63sinsin[()]65ααββ★例10★．平面直角坐标系有点]4,4[),1,(cos),cos,1(xxQxP求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数)(xf；求的最值.解：（1）cosOQOPOQOP，xxxxx22cos1cos2coscos)cos1(coscos即xxxf2cos1cos2)()44(x（2）xxcos1cos2cos，又]223,2[cos1cosxx，]1,322[cos，0min，322arccosmax.【问题6】函数与三角小综合★例11★已知函数321()43cos,32fxxx其中,xR为参数，且02.（I）当cos0时，判断函数()fx是否有极值；（II）要使函数()fx的极小值大于零，求参数的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数()fx在区间(21,)aa内都是增函数，求实数a的取值范围。解：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。（I）解：当cos0时31()4,32fxx则()fx在(,)内是增函数，故无极值。（I