高考数学数列的性质测试

专题考案(2)数列板块第2课数列的性质(时间：90分钟满分：100分)题型示例三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数.分析三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解好问题的关键.解由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=6,∴a=2,这三个数可表示为2-d,2,2+d,(1)若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d),解之得d=6或d=0(舍去).此时三个数为：-4,2,8.(2)若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6或d=0(舍去)，此时三个数为：8，2，-4.(3)若2为等比中项，则22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去).综上可求得此三数为-4,2,8.点评此题给我们的启示是：数学解题既要精炼又要全面.一、选择题(8×3′＝24′)1．下列各命题中，真命题是()A．若｛an｝成等差数列，则｛|an|｝也成等差数列B．若｛|an|｝成等差数列，则｛an｝也成等差数列C．若存在自然数n,使得2an+1=an+an+2，则｛an｝一定是等差数列D．若｛an｝是等差数列，对任何自然数n都有2an+1=an+an+22．从{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任选3个不同的数使它们成等差数列，则这样的等差数列最多有()A.20个B.40个C.60个D.80个3．若正数a、b、c依次成公比大于1的等比数列，则当x1时，logax、logbx、logcx()A.依次成等差数列B.依次成等比数列C.各项的倒数依次成等差数列D.各项的倒数依次成等比数列4．已知数列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首项为1，公比为31的等比数列，则an等于(n∈N)（）A.)311(23nB.)311(231nC.)311(32nD.)311(321n5．等差数列{an}的公差为21,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99的值为()A.60B.85C.2145D.756．已知数列前n项和Sn=2n-1(n∈N*)，则此数列奇数项的前n项和为()A.)12(311nB.)22(311nC.)12(312nD.)22(312n7．正项等比数列｛an｝的首项a1=2-5，其前11项的几何平均数为25,若前11项中抽取一项后的几何平均数仍是25,则抽去一项的项数为()A.6B.7C.9D.118．已知x、y为正实数，且x，a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是()A.RB.(0,4C.［4,+D.(-∞,0］∪［4,+∞)二、填空题(4×3′＝12′)9．等差数列｛an｝最初五项之和与其次五项之和的比为3∶4(n∈N*),则首项a1与公差d的比为.10．已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q的值是.11．12-22+32-42+52-62+…+992-1002=.12．若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项.三、解答题(3×10′＋12′＋10′＝52′)13．已知数列{an}的首项a1=a(a是常数且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N*,n≥2).(1){an}是否是等差数列？若是，求出{an}的通项公式；若不是，说明理由;(2)设bn=an+c(n∈N*,c是常数)，若{bn}是等比数列，求实数c的值，并求出{bn}的通项公式.14．设实数a≠0,且函数f(x)=a(x2+1)-(2x+a1)有最小值-1.(1)求a的值;(2)设数列｛an｝的前n项和Sn=f(n),令bn=naaan242,n=1，2,3…，证明数列｛bn｝是等差数列.15．若数列｛an｝的前n项和Sn=-217232nn(n∈N*)，求数列｛|an|｝的前n项和Tn.16．在某两个正数之间插入一个数a,则三数成等差数列，若插入二个数b,c,则四数成等比数列.(1)求证:2a≥b+c;(2)求证:(a+1)2≥(b+1)(c+1).17．已知数列{an}的通项公式an=6131217412nn(n∈N*)(1)是否存在等于21的项?为什么?(2)此数列是否有相等的连续两项?若有，它们分别是哪两项;若没有，说明理由;(3)此数列是否有值最小的项?为什么?四、思考与讨论(12′)18．在xOy平面上有点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000(10a)x(0a10)的图象上，和点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对每个自然数n，以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设cn=lgbn(n∈N)．若a取(2)中确定的范围的最小整数，问数列{cn}前多少项的和最大?试说明理由．参考答案1．DA错，例如数列-3,-1,1，这样B也错，C应是对任意自然数n;D正是等差中项的性质.2．B由等差数列的概念知an-1+an+1=2an,所选的三个数只要首末两数之和为偶数，则该三数即可构成等差数列.因此，把所给的10个数分为1,3,5,7,9;2,4,6,8,10两组,分别任取两数，另一数自然确定，共有2A25=5×4×2=40个.故选B.3．Cb2=ac.log1log1log2lglglglglglg2lglglg2xxxxcxaxbcabcab4．Aan=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=311)31(1n=)311(23n．5．AS100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=145,又(a2+a4+…+a100)-(a1+a3+a5+…+a99)=50d则奇偶奇偶奇解得SSSSS25145=a1+a3+a5+…+a99=60.6．Can=2n-1，奇数项构成公比为4的等比数列.∴)12(3141)41(12nnnS.7．A(a111·q1+2+…+10)111=25q55=2110q=4.抽取一项后，(a101·qx)101=25qx=2100x=50.抽出的项的q的指数为5，故是第6项.8．C.44)2()()(2221221xyxyxyxyxyyxbbaa9．13∶14372551183831076521dadaaaaaaaaaaaa1∶d=13∶1.10．423233423SaSa②-①:a4-a3＝3（33－32）＝3a3，∴a4=4a3.11．-5050两项结合，利用平方差公式.12．131463421321nnnaaaaaa，∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，∴34+146=3(a1+an),a1+an=60．∴390=2n·60，∴n=13.13．解（1）∵a1=a(a≠-1),a2=2a+1,a3=2a2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a1+a3=5a+3,2a2=4a+2.①②∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a1+a3≠2a2,故{an}不是等差数列.(2)由{bn}是等比数列，得b1b3=b22,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+c)2,化简得a-c-ac+1=0,即(a+1)(1-c)=0.∵a≠-1,∴c=1,∴b1=a+1,q=12bb=2.∴bn=b1qn-1=(a+1)·2n-1.14．(1)解∵f(x)=a(x-a1)2+a-a2有最小值-1.∴a0,且f(a1)=a-a2=-1.∴a=1或a=-2(舍)，∴a=1.(2)证明由(1)知f(x)=x2-2x,∴Sn=n2-2n.∴n=1时，a1=S1=-1；n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-［(n-1)2-2(n-1)］=2n-3.且a1=-1满足上式.∴an=2n-3,即｛an｝是首项为-1,公差为2的等差数列.∴bn=n1(a2+a4+…+a2n)=n1·2)(22naan=n1·2)341(nn=2n-1.∴bn+1-bn＝［2(n+1)-1］-(2n-1)=2.∴｛bn｝是等差数列.15．解n≥2时，an=Sn-Sn-1=10-3n..n=1时，a1=S1＝7满足上式，∴对n∈N*，an=10-3n.令10-3n0,则n310,∴a10,a20，a30,a40，…∴T（n）＝)4(2421723)3(2172322nnnnnn.16．证明(1)设原两数为m,n(m,n0),则222cnbbmcanm由①知a0,由②，③知b,c0,∴bccb22=m+n=2a2abc=b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)(2bc-bc)=(b+c)bc,∴2a≥b+c.(2)由①得a=2nm≥mn=bca2≥bccbabca22a2+2a≥bc+b+c(a+1)2≥bc+b+c+1=(b+1)(c+1).17．解(1)若数列中有等于21的项，则有an=41n2-1217n+613=21,3n2-17n+20=0解得n=4或n=35又n∈N则n=4,故数列的第4项等于21.①②③(2)an=41n2-1217n+613,an+1=41(n+1)2-1217(n+1)+613.若数列中有连续两项相等，则41n2-1217n+613=41(n+1)2-1217(n+1)+613解得n=37.由于n∈N,故不存在相等的连续两项.(3)an=41(n-617)2+14423,故当n=3时an取最小值.点评本题反映了数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，因此可运用方程思想，通过通项公式求出数列的各项或某一项所对应的项数.另外，运用函数观点理解数列，其通项公式亦可视为定义域为正整数集的函数解析式，于是可运用有关函数知识解决一些数列问题.18．解(1)由题意，可知an=21(n+n+1)=n+21.∴bn=2000(10a)an=2000(10a)21n．(2)∵函数y=2000(10a)x在(-∞,+∞)上为减函数，∴对每个正整数n，有bnbn+1bn+2．∴以bn、bn+1、bn+2为边能构成三角形的充要条件是bn+1+bn+2bn，即10a+(10a)21.解得a-5(1+5)或a5(5-1).∵0a10,∴5(5-1)a10,即为所求a的取值范围．(3)易知a=7，则bn=2000(107)21n.于是cn=lgbn=3+lg2+(n+21)lg0.7，且为递减数列．由,解得n≤20.8∴n=20.因此，{cn}的前20项和最大．