高考数学统一考试4

高考数学统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB24πSR如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么34π3VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(012)kknknnPkCppkn，，，…，一、选择题1．sin210（）A．32B．32C．12D．122．函数sinyx的一个单调增区间是（）A．，B．3，C．，D．32，3．设复数z满足12iiz，则z（）A．2iB．2iC．2iD．2i4．下列四个数中最大的是（）A．2(ln2)B．ln(ln2)C．ln2D．ln25．在ABC△中，已知D是AB边上一点，若123ADDBCDCACB，，则（）A．23B．13C．13D．236．不等式2104xx的解集是（）A．(21)，B．(2)，C．(21)(2)，，D．(2)(1)，，7．已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长与底面边长相等，则1AB与侧面11ACCA所成角的正弦值等于（）A．64B．104C．22D．328．已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．129．把函数exy的图像按向量(23)，a平移，得到()yfx的图像，则()fx（）A．3e2xB．3e2xC．2e3xD．2e3x10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290FAF且123AFAF，则双曲线的离心率为（）A．52B．102C．152D．512．设F为抛物线24yx的焦点，ABC，，为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则FAFBFC（）A．9B．6C．4D．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)xxx的展开式中常数项为．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果服从正态分布2(1)(0)N，．若在(01)，内取值的概率为0.4，则在(02)，内取值的概率为．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．已知数列的通项52nan，其前n项和为nS，则2limnnSn→．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC△中，已知内角A，边23BC．设内角Bx，周长为y．（1）求函数()yfx的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96PA．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCDEF，，分别为ABSC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SDDC，求二面角AEFD的大小．AEBCFSD20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy相切．（1）求圆O的方程；（2）圆O与x轴相交于AB，两点，圆内的动点P使PAPOPB，，成等比数列，求PAPB的取值范围．21．（本小题满分12分）设数列{}na的首项113(01)2342nnaaan，，，，，，…．（1）求{}na的通项公式；（2）设32nnnbaa，证明1nnbb，其中n为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题1．D2．C3．C4．D5．A6．C7．A8．A9．C10．B11．B12．B二、填空题13．4214．0.815．24216．52三、解答题17．解：（1）ABC△的内角和ABC，由00ABC，，得20B．应用正弦定理，知23sinsin4sinsinsinBCACBxxA，2sin4sinsinBCABCxA．因为yABBCAC，所以224sin4sin2303yxxx，（2）因为14sincossin232yxxx543sin23xx，所以，当x，即x时，y取得最大值63．18．解：（1）记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01AA，互斥，且01AAA，故01()()PAPAA012122()()(1)C(1)1PAPApppp于是20.961p．解得120.20.2pp，（舍去）．（2）的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220件，故2802100C316(0)C495P．1180202100CC160(1)C495P．2202100C19(2)C495P．所以的分布列为012P3164951604951949519．解法一：（1）作FGDC∥交SD于点G，则G为SD的中点．连结12AGFGCD∥，，又CDAB∥，故FGAEAEFG∥，为平行四边形．EFAG∥，又AG平面SADEF，平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设2DC，则42SDDGADG，，△为等腰直角三角形．取AG中点H，连结DH，则DHAG⊥．又AB⊥平面SAD，所以ABDH⊥，而ABAGA，AEBCFSDHGM所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连结MH，则HMEF⊥．连结DM，则DMEF⊥．故DMH为二面角AEFD的平面角2tan21DHDMHHM．所以二面角AEFD的大小为arctan2．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系Dxyz．设(00)(00)AaSb，，，，，，则(0)(00)BaaCa，，，，，，00222aabEaF，，，，，，02bEFa，，．取SD的中点002bG，，，则02bAGa，，．EFAGEFAGAG，∥，平面SADEF，平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设(100)A，，，则11(110)(010)[phone]BCSEF，，，，，，，，，，，，，，．EF中点111111(101)0222222MMDEFMDEFMDEF，，，，，，，，，，⊥又1002EA，，，0EAEFEAEF，⊥，所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角．3cos3MDEAMDEAMDEA，．所以二面角AEFD的大小为3arccos3．20．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线34xy的距离，AAEBCFSDGMyzx即4213r．得圆O的方程为224xy．（2）不妨设1212(0)(0)AxBxxx，，，，．由24x即得(20)(20)AB，，，．设()Pxy，，由PAPOPB，，成等比数列，得222222(2)(2)xyxyxy，即222xy．(2)(2)PAPBxyxy，，22242(1).xyy由于点P在圆O内，故222242.xyxy，由此得21y．所以PAPB的取值范围为[20)，．21．解：（1）由132342nnaan，，，，…，整理得111(1)2nnaa．又110a，所以{1}na是首项为11a，公比为12的等比数列，得1111(1)2nnaa（2）方法一：由（1）可知302na，故0nb．那么，221nnbb2211222(32)(32)3332(32)229(1).4nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa又由（1）知0na且1na，故2210nnbb，因此1nnbbn，为正整数．方法二：由（1）可知3012nnaa，，因为132nnaa，所以111(3)322nnnnnaabaa．由1na可得33(32)2nnnaaa，即223(32)2nnnnaaaa两边开平方得3322nnnnaaaa．即1nnbbn，为正整数．22．解：（1）求函数()fx的导数；2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．于是，若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：t(0)，0(0)a，a()a，()gt00()gt极大值ab极小值()bfa由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；当()0b