高考数学向量及其运算习题课

向量及其运算习题课一.教学内容：向量及其运算习题课二.重点与难点：1.向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。向量的大小（长度）叫做向量的模，模是非负数，可以比较大小，但由于方向不能比较大小，所以，向量不可以比较大小，这是数量与向量的最大差异。2.向量的表示方法：（1）几何表示法。向量可以用有向线段表示，如：A→B（）字母表示法：如、或、等。2abABBC3.零向量与单位向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。4.平行向量、相等向量、共线向量。平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。5.向量的加法：已知向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫abAABaBCbAC做与的和，记作，即。求两个向量和的运算，叫做向量的加ababACab法。注意：（1）两个向量的和仍为向量。（2）对于零向量与任一向量a有a+0=0+a=a。6.向量的加法法则（1）三角形法则：（首尾连接）（2）平行四边形法则：（共起点）7.向量的加法运算律。（1）交换律：a+b=b+a（2）结合律：a+(b+c)=(a+b)+c8.相反向量：与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。零向量的相反向量为零向量。相反向量性质：（）1()aa（）20aaaa()()（）如、为相反向量，那么，，30ababbaab9.向量的减法：向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差。记abab()求两个向量差的运算叫做向量的减法。10.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（）1||||||aa（）时，方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相200aaaa反，时，。00a11.实数与向量的积的运算律：（）1()()uaua（）2()uaaua（）3()abab12.一个向量与非零向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa。13.平面向量的基本定理：如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使a121122aee把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。14.向量坐标的概念。若i，j分别是与平面直角坐标系内x轴，y轴方向相同的单位向量，且a=xi+yj，则x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标（不要说成横坐标，纵坐标）。记作a=(x,y)。15.相等向量坐标的关系。与向量a=（x，y）相等的所有向量的坐标均为（x，y）。16.向量坐标公式若点、的坐标分别为，，，，则ABAxyBxyABxxyy()()(,)1122212117.向量的和、差及实数与向量的积的坐标公式：若，，，，则，，axybxyabxxyyabxx()()()(,1122121212yyaxy1211)()，，18.向量共线定理：向量a与非零向量b共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使a=λb。19.平行向量的坐标关系：若，，，，则axybxyabxyxy()()//.11221221020.点分有向线段所成的比的概念。若点、、三点共线，则存在一个实数，使（依据PPPPPPPPP12121//PPPPPPPPP21212），把叫做点分有向线段所成的比。当点在线段上（点不与PPPPPP121201、重合）时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段PP2110的延长线上时，。反之亦成立。21.分点坐标公式。若点（，）分有向线段所成的比为（）且，PxyPPPPPPPxy1212111(),Pxy222()，，则有xxxyyy121211此公式叫定比分点坐标公式。在此公式中，（x1，y1），(x2，y2)，（x，y）分别表示起点，终点，分点的坐标。22.中点坐标公式若，为线段中点，且，，，，则有PxyPPPxyPxy()()()12111222xxxyyy121222此即为线段的中点坐标公式。23.三角形重心坐标公式。若，为的重心，且，，，，，，则有GxyABCAxyBxyCxy()()()()112233xxxxyyyy1231233324.向量的夹角的概念已知两个非零向量和，作，，则（）abOAaOBbAOB0180叫做a，b的夹角。注意：（1）两个非零向量的夹角的范围为：0180（）°与方向相同（，均为非零向量，下同）20abab180°与方向相反。ab90°ab25.a与b的数量积的概念已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（内积），记作a·b。注意：（1）a与b的数量积的结果是一个实数（可为正数、负数或零）。0900900901800ababab；；（）不能写成或2ababab（）（因为）300000aa||26.b在a方向上的投影。||cosbba叫做在方向上的投影。注意：（1）b在a方向上的投影不是向量而是一个实数，它的符号取决于θ角的范围。（2）a在b方向上的投影|a|cosθ。27.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积。28.数量积的重要性质设a，b均为非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角（则a与b的夹角也为θ），由数量积的定义可得如下五条重要性质：（）1eaaea||cos（）（这是证明向量垂直的重要方法）20abab（）与同向3ababab||||.ababab与反向||||为锐角0abab||||为钝角；||||abab0aaaa222||||；（用其求模）（）（用此求两非零向量的夹角）；4cos||||abab（）5||||||||ababab291122.()()设两个非零向量，，，axybxy则abxxyy1212||axy1212aaxy221212||cosxxyyxyxy12121212222230.()()设、两点坐标为，，，则ABxyxyAABB||()()ABxxyyABAB223101212.abxxyy32.''平移公式xxhyyk33.在平移向量a及平移前后函数图象的解析式y=f(x)，y=g(x)三者之中，知道了两个能求出第三个。［例题选讲］例1.设a、b是非零向量，且a与b不平行，求证a+b与a-b不平行。分析：如果结论不成立，即(a+b)//(a-b)，将会得到什么样的结果呢？因为两个向量共线，必定存在一个实数λ，使一个向量的λ倍恰好等于另一个向量。由此得到的关于a、b的等式就能推出与题设矛盾。解：假设，()//()abab则有且只有一个实数，使得abab()即()()11ab1110与中总有一个不为零，设,则ab11abab//，这与题设中，不平行的条件矛盾abab与不平行小结：命题由否定形式出现，通常可考虑用反证法来证明。因为本题难度不大，所以也可直接利用向量平行的充要条件验证。如，设，，，axybxy()()1122ab与不平行，xyxy12210.又，，，abxxyyabxxyy()()12121212()()()()()xxyyxxyyxyxy12121212122120abab与不平行例2.（）已知与所成的角为，且，，求；156433222ababcabc,||（）若将，围绕原点按逆时针方向旋转得到，求的坐标2214abb()分析：（1）注意c2=|c|2，根据向量数量积的定义及运算律先求出c2；（）题目中与的模相等，夹角为，由向量数量积的定义可求24abb解：（）19124481256483612222caabbab||||cos||c23（）设，，21bmnn()||||ab，且夹角为4abab||||cos42522522mnmn，且,解得，mn22322b22322，小结：第（2）题把题中的向量a的起点设为原点，在图中旋转容易理解，但实际上与起点的位置无关。解题的思路能推广到一般情况。另外，结合图形可知n1，从而在二元二次方程组的解中选取适合题意的解。例3.已知、、，，试用向量方法求函数abcfxxa()()022()cxb22的最小值。分析：把与向量，的模联系起来，把与向量xasxacxb2222()()tcxbstcabcab()|||()|()，的模联系起来，注意到，是常数。22解：设向量，，向量，，则sxatcxbfxstst()()()|||||||||()|()stcabcab，22当、同向即时，stxacabfxcab()()min22小结：直接用代数的方法求本题中的函数最值很困难，一般情况下转化为几何模型求解。这里借助向量计算，本质上还是几何模型，但运算简捷了。例4.如图所示，P、Q是△ABC的边BC上两点，且BP=QC。求证：ABACAPAQABPQC证明：ABAPPBACAQQC，ABACAPPBAQQCAPAQPBQC因为和大小相等，方向相反，PBQC所以。故PBQCABACAPAQ0小结：通过观察得出与是互为相反向量是解决问题的关键。本题从PBQC图形的特点出发可知解答不唯一如可利用，将转化为.,QBPCABAQQB0将转化为，再求和化简。ACAPPC例5.已知不共线向量，，，，点是直线上一点OAxyOBxyPAB()()1122且，求的坐标。APABROP()解：设，OPxy()则OPOAAPOAAB()()xyxxyy112121，，()()111212xxyy，xxx()112yyy()112小结：若将已知条件改为是直线上不同于、的一点，且PABABAPPB（。且），求的坐标，即为定比分点公式。ROP1例6.已知（，），（，）延长到，使，求点坐标ABBAPAPABP301613||||解法一：设点（，）外分PxyAB则APPB14于是得xy314111413301461142()()点的坐标为，P1332当然，也可设外分，则，同样可得，PBABPPAP11332解法二：设（，），且点内分，则，PxyABPBAAP3于是得：3131306313xy解得，即，xyP13321332也可设内分，则APBPAAB13同样得，P1332小结：在采用定比分点公式解题时，起点、终点、分点及相应的比值λ都是相对的，它们的位置关系可以根据问题的特点作适