高三第二次模拟数学试题(理科1)

北京市西城区2007年第二次抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟.第一卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A{1，2，3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A共有（）A．6个B．5个C．4个D．3个2．若qpxqxp是则,2|1:|,0)1lg(:的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知函数)()(),1,0(log1)(1xfxfaaxxfa是且的反函数.若)(1xf的图象过点（3，4），则a等于（）A．2B．3C．33D．24．在正三棱锥P—ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①PBAC；②AC//平面PDE；③PDEAB平面.其中正确论断的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．若420443322104,)1(aaaxaxaxaxaax则的值为（）A．9B．8C．7D．66．已知a，b是不共线的向量，,(,baACbaABR）那么A，B，C三点共线的充要条件为（）A．2B．1C．=－1D．=17．设双曲线)0,0(12222babyax的半焦距为c，离心率为45.若直线kxy与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于（）≠A．54B．53C．209D．2598．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（）A．30种B．27种C．24种D．21种第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）9．设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件.现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取件玩具.10．若baibiia,,2其中R，i是虚数单位，则22ba=.11．)221(lim220xxxxx=.12．设xR，函数)23sin(sinxxky的最小值是－2，则实数k=.13．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=2，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是；A，B两点的球面距离为.14．按下列程序框图运算：规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行kk(N*）次才停止，则x的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分12分）已知为第二象限的角，,53sin为第三象限的角，34tan.（I）求)tan(的值.2,4,6（II）求)2cos(的值.16．（本小题满分12分）设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51.假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响.（I）求p的值；（II）设试验成功的方案的个数为，求的分布列及数学期望E.17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.（I）求证：A1C//平面AB1D；（II）求二面角B—AB1—D的大小；（III）求点c到平面AB1D的距离.18．（本小题满分14分）设直线)1(:xkyl与椭圆)0(3222aayx相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.（I）证明：222313kka；2,4,6（II）若OABCBAC求,2的面积取得最大值时的椭圆方程.19．（本小题满分14分）设a0，函数axaxxf1)(2.（I）若)(xf在区间]1,0(上是增函数，求a的取值范围；（II）求)(xf在区间]1,0(上的最大值.20．（本小题满分14分）设2021,,,aaa是首项为1，公比为2的等比数列.对于满足190k的整数k,数列,,,,,202021knknnaabbbb由,2020,201时当时当nkkn确定.记201nnnbaM.（I）当k=1时，求M的值；（II）求M的最小值及相应的k的值.2,4,6北京市西城区2007年第二次抽样测试高三数学试卷（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．A3．D4．C5．B6．D7．C8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．12010．511．2112．313．1（2分），3（3分）14．4（2分），kkxkxk6531,31,2);,82(,1时时（3分）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）（I）解：因为α为第二象限的角，53sin，所以，54sin1cos2，………………………………………2分.43cossintan………………………………………………………4分又34tan，所以，.247tantan1tantan)tan(……………………………6分（II）解：因为β为第三象限的角，34tan，所以，.53cos,54sin…………………………………………8分又257sin212cos,2524cossin22sin2，………10分所以，.53sin2sincos2cos)2cos(………………12分16．（本小题满分12分）（I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为.A由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.所以，2)1()(pAP，2,4,6从而，.)1(1)(2pAP令.3.0,51.0)1(12pp解得………………………………………6分（II）解：ξ的可取值为0，1，2.……………………………………………7分,42.0)3.01(3.02)1(,49.0)3.01()0(2PP.09.03.0)2(2P……………………………………………………10分所以ξ的分布列为ξ012P0.490.420.09ξ的数学期望.6.0)2(2)1(1)0(0PPPE……12分17．（本小题满分14分）解法一（I）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C.…………………………3分∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.……………………4分（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1∴∠FGD是二面角B—AB1—D的平面角…………………………7分设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=.43在△ABE中，82343BEFG，在Rt△DFG中，36tanFGDFFGD，所以，二面角B—AB1—D的大小为.36arctan…………………………9分（III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离.……………………………12分由△CDH∽△B1DB，得.5511DBCDBBCH即点C到平面AB1D的距离是.55……………………………………14分解法二：建立空间直角坐标系D—xyz，如图，（I）证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE.设A1A=AB=1，则).0,0,21(),21,43,41(),1,23,0(),0,0,0(1CEAD),21,43,41(),1,23,21(1DECA.//,211DECADECA…………………………3分DABCADABDE111,平面平面，.//11DABCA平面……………………………………4分（II）解：)1,0,21(),0,23,0(1BA，)1,0,21(),0,23,0(1DBAD，设),,(1rqpn是平面AB1D的法向量，则0,0111DBnADn且，故)1,0,2(,1.021,0231nrrpq得取；同理，可求得平面AB1B的法向量是).0,1,3(2n……………………7分设二面角B—AB1—D的大小为θ，515||||cos2121nnnn，∴二面角B—AB1—D的大小为.515arccos…………………………9分（III）解由（II）得平面AB1D的法向量为)1,0,2(1n，取其单位法向量).0,0,21(),51,0,52(DCn又∴点C到平面AB1D的距离.55||nDCd……………………14分18．（本小题满分14分）（I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故.11)1(ykxxky可化为将xayxykx消去代入,311222，得.012)31(222aykyk①…………………………3分由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得3)31(,0)1)(31(4422222akakk整理得，即.313222kka……………………………………………………5分（II）解：设).,(),,(2211yxByxA由①，得221312kkyy因为212,2yyCBAC得，代入上式，得.31222kky……………8分于是，△OAB的面积||23||||21221yyyOCS.23||32||331||32kkkk………………11分其中，上式取等号的条件是.33,132kk即……………………12分由.33,312222ykky可得将33,3333,3322ykyk及这两组值分别代入①，均可解出.52a所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是.5322yx………………14分19．（本小题满分14分）（I）解：对函数.11)(,)(2xaxxfxf得求导数………………………2分要使1,0)(在区间xf上是增函数，只要1,0011)(2在xaxxf上恒成立，即1,011122在xxxa上恒成立……………………………………4分因为1,0112在x上单调递减，所以1,0112在x上的最小值是2，注意到a0，所以a的取值范围是.2,0……………………………………6分（II）解：①当20a时，由（I）知，1,0)(在区间xf上是增函数，此时1,0)(在区间xf上的最大值是.)21(1)1(af……………………8分②当011)(,22xaxxfa令时，解得).1,0(112ax……………………………………………………10分因为0)(,111;0)(,11022xfxaxfax时时，所以)1,11(,)11,0()(22aaxf在上单调递增在上单调递减，此时1,0)(在区间xf上的最大值是.1)11(22aaaf…………13分综上