江西省宜春市2007届高三第三次模拟考试数学(理科)试题4月22日命题人:吴连进(高安教育集团)熊星飞(宜丰中学)李希亮审校人:李希亮胡鸿(宜春中学)I卷(注意:请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷上)一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{0,1}P,{|1,}QyyxxP,则P与Q的关系为()A.PQB.PQC.PQD.PQ2.命题p:不等式11xxxx的解集为(0,1),命题q:在△ABC中,“AB”是“sinsinAB”成立的必要非充分条件,则()A.p真q假B.p且q为真C.p或q假D.p假q真3.等式“tan()tan2”成立是“、、成等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数()4sin()fxx对任意x都有()()66fxfx,则()6f()A.8B.4C.-4D.-4或45.设,ab是正实数,以下不等式:1(1)2ab;22(2)2()abab;2(3)ababab;(4)||aabb,其中恒成立的有:A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(4)6.等差数列{}na中,若378,20aa,新数列11{}nnaa的前n项和为254,则n的值为()A.14B.15C.16D.187.已知△ABC的顶点,BC在椭圆2213xy上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在边BC上,则△ABC的周长为()。A.23B.6C.43D.128.()()fxxR为奇函数,1(1),(2)()(2),2ffxfxf则(5)f()A.0B.1C.52D.59.当太阳斜照或直照时,放在水平地面上的长方体箱子,在地面上影子的形状是()A.四边形或五边形B.四边形或六边形C.五边形或六边形D.四边形或五边形或六边形10.在1,2,3,4,5的排列1a,2a,3a,4a,5a,中,满足12aa,23aa,34aa,45aa的排列个数是()A.10B.12C.14D.1611.下列函数图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与0.5logyx的图象重合的是()A.2xyB.42logyxC.2log(1)yxD.142xy12.在正三棱锥SABC中,M、N分别为棱SC、BC的中点,且MNAM,23SA,则此三棱锥SABC外接球的表面积为()A.12B.32C.36D.48二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.己知复数z满足||812zzi,则z。14.已知,ab为实数,0a,lim()0nnbab,那么a与b的关系为。15.己知,xy满足10262xyxyxyt,其中实数[4,8]t,则目标函数zxy的最大值的变化范围是。16.A、B是双曲线22145xy右支上的两点,若弦AB的中点到y轴的距离是4,则AB的最大值是。宜春市2007届高三年级第三次模拟考试数学(理科)试题Ⅱ卷(注意:请将第Ⅰ卷答案填在此卷上)一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.14.15.16.三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答写出必要的文字说明,注明过程及演算步骤)17.(本小题满分12分)如右图所示,已知函数()fxsincos(,,0)axbxabR的一部分图象.(1)求,,ab的值,讨论函数在(2,6]上的单调性;(2)12,(2,6]xx,且12xx,求证:21()()1fxfx。18.(本小题满分12分)根据某地区的高考录取情况统计:高考录取中,上线考生第一次被录取的概率为0.6;若第一次未被录取,则通过补报志愿,第二次被录取的概率为0.75。求:(1)在高考录取中某上线学生被录取的概率为多少?(2)若某小组有5位同学上线,则这5位同学中第一次就有4人被录取的概率为多少?(假设学生之间的录取是相互独立的)(3)在条件(2)中,5位上线同学被录取人数的期望是多少?19.(本小题满分12分)已知斜三棱柱111ABCABC的底面是直角三角形,090C,侧棱与底面所成的角为,点1B在底面上的射影D落在BC上.(1)求证:11ACBBCC平面;(2)当为何值时,11ABBC且D恰为BC中点?(3)若1arccos3,且1ACBCAA时,求二面角1CABC的大小.20.(本题满分12分)设函数22()(1)ln(1)fxxx(1)求()fx的单调区间;(2)若当1[,1]xee时,不等式()fxm恒成立,求实数m的取值范围;(3)若关于x的方程2()fxxxa在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.C1ABCDA1B121.(本小题满分12分)已知AB是抛物线22(0)xpyp的任一弦,F为抛物线的焦点,l为准线.m为过A点且以(0,1)为方向向量的直线.(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点,求证:||||AFCF;(2)若20OAOBp(A、B异于原点),直线OB与m相交于点M,试求点M的轨迹方程;(3)若AB为焦点弦,分别过A、B点的抛物线的两条切线相交于点T,求证:ATBT,且T点在l上.22.(本小题满分14分)已知等差数列}{na的首项为a,公差为b;等比数列}{nb的首项为b,公比为a,其中,Nab,且32211ababa.(1)求a的值;(2)若对于任意Nn,总存在Nm,使nmba3,求b的值;(3)在(2)中,记}{nc是}{na中所有满足nmba3的项从小到大依次组成的数列,又记nS为}{nc的前n项和,nT为}{na的前n项和,求证:nS≥nT)(Nn.宜春市2007届高三年级第三次模拟考试数学(理科)试题参考答案及评分标准一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案AADDBCCCBDDC二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)13.512i14.2ab15.1014[,]3316.8三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答写出必要的文字说明,注明过程及演算步骤)17.(1)由题意得22()sin()fxab.当xR时,()fx的最大值22ba与最小值22ab互为相反数,设()fx的最小正周期为T,由图知32422T,得6T.又2||T,0,于是26,得13.这时,11()sincos33fxaxbx,它经过两点(,0)2,(2,2)得232cos32sin06cos6sinbaba有2212302321baba,解之,得3,1ab所以3,1ab,13……………………………………………4分得()fx=3sin31x-cos31x=2sin(31x-6),所以()fx在(2,5]上单调递减;在(5,6]上单调递增.……………………………………………………6分(2)当125x时,讨论2x的取值:①若225x,由12xx,()fx在(2,5]上单调递减,得21()()0fxfx;②若256x时,则211()()(6)()1(2)1fxfxffx……10分当156x时,12xx,211()()(6)()1(2)1fxfxffx综上所述,21()()1fxfx……………………………………………………12分18.解:(1)记事件m:上线考生第一次被录取记事件n:上线考生第一次未被录取,补报志愿第二次被录取依题意,得:()0.6Pm()0.40.750.3Pn…………3分显然事件m与事件n是互斥事件所以()()()0.60.30.9PmnPmPn……………6分(2)依题意,知:5位上线同学第一次有3人被录取的概率33255(3)0.60.40.3456PC………………………………9分(3)因为每位上线同学中,最后被录取的概率为0.9,且同学之间被录取与否是相互独立的,所以5位上线学生中被录取的人数(5,0.9)B……10分所以50.94.5E…………………………………………12分19.解:(1)∵1BDABC平面,ACABC平面∴11,,BDACACBCBCBDD又∴11ACBBCC平面…………………………3分(2)∵11ACBBCC平面,要使11ABBC,由三垂线定理可知,只须11BCBC…………………………5分∴平行四边形11BBCC为菱形,此时,1BBBC.又∵1BCBD,要使D为BC中点,只须11BCBB,即△1BBC为正三角形,∴0160BBC…………………………7分∵1BDABC平面,且D落在BC上,∴1BBC即为侧棱与底面所成的角.故当060时,11ABBC,且使D为BC中点………………………8分(3)过1C作1CEBC于E,则1CEABC平面。过E作EFAB于F,由三垂线定理,得1CFAB∴1CFE是所求二面角1CABC的平面角.……………………10分设1ACBCAAa,在1RtCCE中,由11arccos3CBE,1223CEa.在RtBEF中,045EBF,22EF223BEaa.∴0145CFE,故所求的二面角1CABC为045.………………12分20.解:(I)函数定义域为(,1)(1,),因为12(2)'()2[(1)]11xxfxxxx……………………………2分由'()0fx,得21x或0x;由'()0fx,得2x或10x.所以递增区间是[2,1),[0,),递减区间是(,2],(1,0]………………4分(2)由(1)知,()fx在1[1,0]e上递减,在[0,1]e上递增.又211(1)2fee,2(1)2fee,且22122ee,所以1[1,1]xee时,2max()2fxe……………………………………………………………………6分故22me时,不等式()fxm恒成立.…………………………………………8分(III)方程2()fxxxa,即:21ln(1)0xax.记2()1ln(1)gxxax所以21'()111xgxxx.由'()0gx,得1x或1x;由'()0gx,得:11x.所以()gx在[0,1]上递减,在[1,2]上递增,为使2()fxxxa在[0,2]上恰好有两个相异的实根,必须且只需()0gx在[0,1]和(1,2)上各有一个实根,于是有0)2(0)1(0)0(ggg,解之,得22ln232ln3a.……………………12分21.(1)如图所示,设11(,)Axy,易知点A即为切点.∵'xyp,∴1ACxkp,于是AC的方程为:111()xyyxxp,即:11xyxyp,令0x,得1yy即1(0,)Cy由抛物线的定义可知,1||2pAFy.又11||()22ppCFyy∴||||AFCF.………………………………………………………………4分(2)设1122(,),(,),AxyBxy,∵OA·20OBp,∴212120xxyyp,∴1222212204xxxxpp