高三第三次月考数学试题(文科)

高三第三次月考数学试题（文科）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(球的体积公式334RV球，球的表面积公式24RS，其中R表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，设函数)1lg(xy的定义域为集合A，函数2xy的定义域为集合B，则(AB）=（）A．[1，2]B．[1，2)C．]2,1(D．（1，2）2．某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个容量为80的样本，已知广告部被抽取了4个员工，则广告部的员工人数是（）A．30B．40C．50D．603．设l、m为不同的直线，α、β为不同的平面，给出下列四个命题：①若,,mll∥β，m∥β，则α∥β；②若,,,mll则m⊥β；③若a⊥β，l∥α，则l⊥β；④若α∥β，ml,，则l∥m.其中真命题的个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知|a|=3，|b|=2，且（a+b）·a=0，则向量a与b的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．某两个三口之家，拟乘“富康”、“桑塔纳”两辆出租车一起外出郊游，每辆车最多只能坐4个，其中两个小孩（另4个为两对夫妇）不能独坐一辆车，则不同的乘车方法共有（）A．58种B．50种C．48种D．40种6．若不等式ax|1|成立的充分条件是40x，则实数a的取值范围是（）A．),3[B．]3,(C．),1[D．]1,(7．已知函数)12(xf是奇函数，则函数)2(xfy的图象关于下列哪个点成中心对称（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（21，0）D．（－21，0）8．已知两定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．27B．23C．1D．219．在一次射击练习中，已知甲独立射击目标被击中的概率为43，甲和乙同时射击，目标没有被击中的概率为121，则乙独立射击目标被击中的概率是（）A．31B．32C．91D．6510．如果函数)(xf在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的nxxx,,,21，有)()()()(2121nxxxfnxfxfxfnn成立.已知函数xysin在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，CBAsinsinsin的最大值是（）A．21B．23C．23D．233二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．已知bbaaba11,0,0且，则a与b的大小关系是.12．函数xxycos2cos4的最小正周期是.13．若nxx)1(的展开式中，只有第四项的系数最大，则这个展开式中的常数项的值是.（用数字作答）14．设椭圆)0(12222babyax的两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且2121,2||||PFPFPFPF则.15．正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，经过三棱锥的一条侧棱和球心O的截面如右图，若球的表面积为12π，则这个正三棱锥的底面边长为.三、解答题：本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C、的对边分别为a、b、c，已知.cos)2(cosBcaCb（I）求角B的大小；（II）若a、b、c成等比数列，试确定△ABC的形状.17．（本小题满分12分）已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲乙丙维生素A（单位/kg）600700400维生素B（单位/kg）800400500成本（元/kg）1194现在用甲、乙、丙三种食物配成100kg混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B，问：分别用甲、乙、丙三种食物各多少kg，才能使这100kg混合食物的成本最低？其最低成本为多少元？18．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=2，O为AB的中点，沿OC将△AOC折起到△A′OC的位置，使得直线A′B与平面ABC成30°角.（I）若点A′到直线BC的距离为1，求二面角A′—BC—A的大小；（II）若∠A′CB+∠OCB=π，求BC边的长.19．（本小题满分12分）已知数列}{na为等差数列，其前n项和为.nS（I）若35261754,,:,0SSSSSSaa试验证成立，并将其整合为一个等式；（II）一般地，若存在正整数k，使01kkaa，我们可将（I）中的结论作相应推广，试写出推广后的结论，并推断它是否正确.2007032720．（本小题满分14分）设a为实常数，函数.4)(23axxxf（I）若函数)(xfy的图象在点P（1，)1(f）处的切线的倾斜角为4，求函数)(xf的单调区间；（II）若存在),0(0x，使0)(0xf，求a的取值范围.21．（本小题满分14分）已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.xyC4:2，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（I）若△POM的面积为25，求向量OM与OP的夹角；（II）试探求点O到直线PQ的距离是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.高三年级三月月考数学试题（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1—5：DCBDC6—10：ACABD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．ba12．213．2014．915．3三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．解：（I）由已知及正弦定理，有.cossin2sincoscossin,cos)sinsin2(cossinBACBCBBCACB即.cossin2)sin(BACB…………………………………………（4分）.60,21cos,1cos2,0sin)sin(BBBACB即……………（6分）（II）由题设，,cos2,.2222Baccabacb据余弦定理.,0)(.02.60cos222222cacaaccaaccaac即即……（10分）从而ABCcaacb故,为正三角形.……………………………………（12分）17．解：设用甲种食物xkg，乙种食物ykg，丙种食物（100－x－y）kg，混合食物的成本为z元.则…………………………………………………………（2分）.1303,1602263000)100(50040080056000)100(400700600yxyxyxyxyxyx即…………（5分）且.40057)100(4911yxyxyxz………………………………（6分）8504001301602400)3()32(2yxyxz当且仅当2050,1303,16032yxyxyx即时取等号，.850minz…………………（9分）答：分别用甲种食物50kg，乙种食物20kg，丙种食物30kg，才能使混合食物成本最低，其最低成本为850元.………………………………………………………………（12分）18．解：（I）由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC.过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，则A′D⊥平面ABC，……………………（2分）∴∠A′ED=30°，又A′O=BO=1，∴∠A′OD=60°，从而A′D=A′Osin60°=23.……………………………………………………（4分）过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结A′E，据三垂线定理，A′E⊥BC.∴∠A′ED为二面角A′—BC—A的平面角.……………………………………（5分）由已知，A′E=1，在Rt△A′DE中.23sinEADAEDA∴∠A′ED=60°故二面角A′—BC—A的大小为60°.…………………………（7分）（II）设BC=x，∠A′CB=θ，则A′C=x，∠OCB=π－θ.在Rt△BOC中，.1sin,1)sin(,sinxxBCOBOCB即…………（9分）在△A′DB中，A′B=.330sinDA在△A′BC中，A′B2=A′C2+BC2－2A′C·BC.cosCBA.231cos.cos232222xxxx即…………（12分）.249.1)231(1.1cossin2422222xxxx即.423.423,892BCxx故………………………（14分）19．解：（I）.0,54aaan且为等差数列154176543217)(3SaaSaaaaaaSS；……………（2分）2542654326)(2SaaSaaaaSS；…………………………（4分）.;4435435SSSaaSS又………………………………………………（5分）∴对任意.,8*,恒成立等式nnkSSnNn…………………………………（7分）（II）推广：设等差数列}{na的前n项和为Sn，若存在正整数k，使,01kkaa则对任意.,2*,2恒成立等式且nnkSSknNn…………………………（9分）设}{na的公差为.0)12(2,0,11dkaaadkk.11122)1()2(2)2(2)2(2)2)(212212()2](2)12([nnkSdnnnandadnndkdnnkdnnkdnkdknkdnkaS故推广后的结论正确.…………………………………………………………………（14分）20．解：（I）.23)(2axxxf据题意，.2,123,14tan)1(aaf即………………………………（3分）).34(343)(2xxxxxf………………………………………………（4分）故340,0)34(,0)(xxxxf即得；故.340,0)34(,0)(xxxxxf或即得)(xf的单调递增区间是[0，34]，单调递减区间是（－∞，0]，[34，+∞).…（7分）（II）).32(3)(axxxf（1）若),0()(,0)(,0,0在从而时当xfxfxa上是减函数。又.4)(,0.4)0(xfxf时则当.0)(,0,000xfxa使不存在时当……………………………………（10分）（2）若.0)(,32,0)(,320,0xfaxxfaxa时当时则当从而)(xf在（0，]32a上单调递增，在[32a，+)上单调递减..4274494278)32()(,),0(333maxaaaafxfx时当据题意，aaaa故即.3.27,0427433的取值范围是（3，+∞）.……（14分）21．解：（I）设点PyyPyyM),,4(),,4(222121、M、A三点共线，,4,14,4414,2121211222121211yyyyyyyyyyyykkDMAM即即………（2分）.544212221yyyyOPOM…………………………………………………（3分）设∠POM=α，则.5cos||||OPOM.5sin||||,25O