高三理科数学第一次模拟考试

2009届高三理科数学第一次模拟考试数学试题（理科）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分160分，考试时间为120分钟。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。3．请认真核对答题纸密封线内规定填写的项目是否准确。4．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．1．设,abR，集合{1,,}{0,,}bababa，则ba▲．2．幂函数()fx的图象经过点(3,3)，则()fx的解析式是▲．3．2)2(lg50lg2lg25lg=▲．4．设f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=1x,则当x0时，f(x)=▲．5．若1,0ab,且22bbaa,则bbaa的值等于▲．6．2(1)37,Axxx则AZ的元素个数为▲．7．已知函数fx是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足12fxfx，若当23x时，fxx，则)5.2007(f=▲．8．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2yx,值域为{1,4}的“同族函数”共有▲个．9．若2log3a，3log2b，13log2c，21log3d，则,,,abcd的大小关系是▲．（请用“＜”号连接）10．已知集合BAxyyByxAxx则},0,)21(|{},log|{)1(2等于▲．11．已知函数)1,0(13logaaxya的图象恒过定点A，若点A在直线nymx01上，其中0mn，则nm21的最小值为▲．12．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(3)n从左向右的第3个数为▲.13．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是22221(0)xyabab与222xya，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为▲．14对,abR，记()min,()aababbab，函数1()min,12()2fxxxxR的最大值为▲．Oxyxl①②③甲甲乙乙(将l向右平移)二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2｝，问是否存在这样的实数a，使得BA，且A∩B=｛1，a｝？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．16．（本小题满分14分）已知f(x)＝xxa11log(a0,a≠1)（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并给予证明；（3）求使f(x)0的x的取值范围．17．（本小题满分14分）设命题:p函数3()()2xfxa是R上的减函数，命题:q函数2()43fxxx在0,a的值域为1,3．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．18．（本小题满分16分）设函数,223,2)1(,)(2bcaafcbxaxxf且求证：（1）4330aba且；（2）函数)(xf在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,xx是函数)(xf的两个零点，则.457||221xx19．（本小题满分16分）已知f(x)=lnx－x2+bx+3（1）若函数f(x)在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；（2）若f(x)在区间[1，m]上单调，求b的取值范围.20．(本小题满分16分)设2224()loglog1xfxaxb，(,ab为常数）．当0x时，()()Fxfx，且()Fx为R上的奇函数．（Ⅰ）若1()02f，且()fx的最小值为0，求()Fx的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，2()1()logxfxkgx在2,4上是单调函数，求k的取值范围．通州市三余中学2009届高三第一次模拟考试数学试题（理科）参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置．1．设,abR，集合{1,,}{0,,}bababa，则ba▲．22．幂函数()fx的图象经过点(3,3)，则()fx的解析式是▲．21x3．2)2(lg50lg2lg25lg=▲．24．设f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)=1x,则当x0时，f(x)=▲．f(x)=1x5．若1,0ab,且22bbaa,则bbaa的值等于▲．26．2(1)37,Axxx则AZ的元素个数为▲．07．已知函数fx是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足12fxfx，若当23x时，fxx，则)5.2007(f=▲．528．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2yx,值域为{1,4}的“同族函数”共有▲个．99．若2log3a，3log2b，13log2c，21log3d，则,,,abcd的大小关系是▲．（请用“＜”号连接）dcba10．已知集合BAxyyByxAxx则},0,)21(|{},log|{)1(2等于▲．,111．已知函数)1,0(13logaaxya的图象恒过定点A，若点A在直线nymx01上，其中0mn，则nm21的最小值为▲．812．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第n行(3)n从左向右的第3个数为▲.262nn13．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍.你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是22221(0)xyabab与222xya，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为▲．ab14对,abR，记()min,()aababbab，函数1()min,12()2fxxxxR的最大值为▲．1二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）集合A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2｝，问是否存在这样的实数a，使得BA，且A∩B=｛1，a｝？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．解：由A=｛1，3，a｝，B=｛1，a2｝，BA，得a2=3．或a2=a．当a2=3时，3a，此时A∩B≠｛1，a｝；7′当a2=a时，a=0或a=1，9′Oxyxl①②③甲甲乙乙(将l向右平移)a=0时，A∩B=｛1，0｝；11′a=1时，A∩B≠｛1，a｝．13′综上所述，存在这样的实数a=0，使得BA，且A∩B=｛1，a｝．14′16．（本小题满分14分）已知f(x)＝xxa11log(a0,a≠1)（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性并给予证明；（3）求使f(x)0的x的取值范围．解：(1)由11xx＞0，解得x∈（–1，1）．4′(2)f(－x)＝xxa11log＝－f(x),且x∈（－1，1）∴函数y＝f(x)是奇函数．8′(3)若a1,f(x)0则11xx＞1，解得0x1；11′若0a1,f(x)0则0＜11xx＜1，解得－1x0,.14′17．（本小题满分14分）设命题:p函数3()()2xfxa是R上的减函数，命题:q函数2()43fxxx在0,a的值域为1,3．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．解：由3012a得3522a………………………………………………3分2()(2)1fxx，在[0,]a上的值域为[1,3]得24a……………7分p且q为假，p或q为真得p、q中一真一假．若p真q假得，322a……………………………10分若p假q真得，542a．………………………………………………12分综上，3522a或342a．………………………………………………14分18．（本小题满分16分）设函数,223,2)1(,)(2bcaafcbxaxxf且求证：（1）4330aba且；（2）函数)(xf在区间（0，2）内至少有一个零点；（3）设21,xx是函数)(xf的两个零点，则.457||221xx证明：（1）2)1(acbaf0223cba2′又bca22302,03ba0,0ba又2c=－3a－2b由3a＞2c＞2b∴3a＞－3a－2b＞2b∵a＞0433ab6′（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a－c①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且02)1(af∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点9′②当c≤0时，∵a＞00)2(02)1(cafaf且∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点11′（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则0,221cbxaxxx是方程的两根∴abacxxabxx23,21212)2()23(4)(4)(||222122121abababxxxxxx433ab457||221xx16′19．（本小题满分16分）已知f(x)=lnx－x2+bx+3（1）若函数f(x)在点（2，y）处的切线与直线2x+y+2=0垂直，求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值；（2）若f(x)在区间[1，m]上单调，求b的取值范围.解：（1）1()2fxxbx直线2x+y+2=0斜率为－2令f′(2)=12得b=43′f(x)=lnx－x2＋4x＋32124126()2402xxfxxxxx得5′x1(1,612)612（612,3）3y′+0－y6极大6＋ln3因为6+ln36∴x=1时f(x)在[1，3]上最小值6.8′（2）令1()2fxxbx≥0得b≥2x－1x，在[1，m]上恒成立而y=2x－1x在[1，m]上单调递增，最大值为2m－1m∴b≥2m－1m12′令1()2fxxbx≤0得b≤2x－1x，在[1，m]上恒成立而y=2x－1x在[1，m]单调递增，最小值为y=1∴b≤1故b≥2m－1m或b≤1时f(x)在[1，m]上单调．16′20．(本小题满分16分)设2224()loglog1xfxaxb，(,ab为常数）．当0x时，()()Fxfx，且()Fx为R上的奇函数．（Ⅰ）若1()02f，且()fx的最小值为0，求()Fx的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，2()1()logxfxkgx在2,4上是单调函数，求k的取值范围．(1)解:222()loglog1fxaxbx由1()02f得10ab,………………………………………………1分222()log(1)log1fxaxax若0a则2()log1fxx无最小值.0a.………………………………………2分欲使()fx取最小值为0,只能使204(1)04aaaa