高三数学(理)上期期中考试试卷

高三数学（理）上期期中考试试卷本试卷分第I卷（选择题共50分）和第II卷（非选择题共100分）两部分。考试时间为120分钟，满分为150分。第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分）1．设集合},02|),{(},,|),{(myxyxARyRxyxU}0|),{(nyxyxB，若P（2，3）∈A∩（），则（）A．51nm且B．51nm且C．51且mD．51nm且2．设)(lim,)0()0(2)(0xfxexbxxfxx若存在，则常数b的值是（）A．0B．1C．－1D．e3．若复数iRaiia,(213为虚数单位.）是纯虚数，则实数a的值为（）A．－2B．4C．－6D．64．已知)2cos()(),2sin()(xxgxxf，则下列结论中正确的是（）A．函数)()(xgxfy的周期为2；B．函数)()(xgxfy的最大值为1；C．将)(xf的图象向左平移2个单位后得到)(xg的图象；D．将)(xf的图象向右平移2个单位后得到)(xg的图象；5．设随机变量服从正态分布N（0，1），,)1(PP则)11(P（）A．P21B．P1C．P21D．P216．球面上有七个点，其中四个点在同一个大圆上，其余再无三点共一个大圆，也无两点与球心共线，那么经过这七个点的球的大圆有（）A．15个B．16个C．31个D．32个7．双曲线)1(122nynx的两焦点为F1、F2，p在双曲线上且满足22||||21nPFPF，则△PF1F2的面积为（）A．1B．21C．2D．48．若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（）A．)23,2[B．]23,2(C．)23,3[D．)23,3(9．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A．0.27，78B．0.27，83C．2.7，78D．27，8310．已知二面角α—l—β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，点A、B到棱l的距离分别为x，y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中（）ABCD第II卷（非选择题共100分）二、填空题（每小题4分，共24分）11．已知双曲线)0(1222ayax的一条渐近线与直线032yx垂直，则该双曲线的准线方程是.12．已知数列}{na满足*)(11Nnnnan，且数列}{na的前n项和9nS，那么n的值为.13．在103)1)(1(xx的展开式中，5x的系数为.14．已知zyx,,满足0305kyxxyx，且yxz42的最小值为－6，则常数k=.15．如图，在长方体AC1中，分别过BC和A1D1的两个平行平面如果将长方体分成体积相等的三个部分，那么11NDNC=.16．对于在区间[a，b]上有意义的两个函数)(xf与)(xg，如果对于任意],[bax，均有|1|)()(xgxf，则称)(xf与)(xg在[a，b]上是接近的.若函数232xxy与函数32xy在区间[a，b]上非常接近，则该区间可以是.（写出一个符合条件的区间即可）三、解答题（共76分）17．（本小题满分13分）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos（A+B）=0.（1）13,4ca，求△ABC的面积；（2）若ABCACABCBCABCBA32,coscos,3求的值.18．（本小题满分13分）某公司“咨询热线”电话共有10路外线，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，英才苑外线电话同时打入情况如下表所示：电话同时打入数ξ012345678910概率P0.130.350.270.140.080.020.010000（1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）.①求至少一路电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话一次不能接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”；（2）求一周五个工作日的这一时间内，同时打入的电话数ξ的期望值.19．（本小题满分13分）如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB=2，AA1=1，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°，英才苑AE⊥BD于E，F为A1B1的中点.（1）求异面直线AE与BF所成的角；（2）求平面BDF与平面AA1B1B所成的二面角（锐角）的大小；（3）求点A到平面BDF的距离.20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知),(nnanA、),(nnbnB、*))(0,1(NnnCn，满足向量11nAA与向量nnCB共线，且点),(nnbnB*)(Nn都在斜率6的同一条直线上.（1）试用11,ba与n来表示na；（2）设abaa11,，且1215a，求数}{na中的最小值的项.21．（本小题满分12分）已知函数)0()(223axaxbaxxf，存在实数21,xx满足下列条件：①21xx；②0)()(21xfxf；③.2||||21xx（1）证明：30a；（2）求b的取值范围.22．（本小题满分12分）在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，OMONOM552,5||.过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，NNMMOT11.记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.（1）求曲线C的方程；（2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；（3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若AQtAP，证明.BQtSB参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1—5：ABCDC6—10：BAAAD二、填空题（每小题4分，共24分）11．554x；12．99；13．207；14．0；15．2；16．[1，2]或填[3，4]或填它们的任一子区间（答案有无数个）。三、解答题（共76分）17．（1）解：由CBABAC且0)cos(32sin有23sin0cos,0cos3cossin2CCCCC或所以………………2分由3,23sin,,13,4CCacca则所以只能有，……………3分由余弦定理31,034cos22222bbbbCabbac或解得有……5分当.3sin21,133sin21,3CabSbCabSb时当时…………7分（2）由,0cos,3,coscosCABCCB所以应取又有则6,2BC，……………………9分由ABCABCABABCACABCBCABba332,3得0232332cos365cosbcacbcac……………………13分18．（本小题满分13分）解：（1）①只安排2位接线员，则2路及2路以下电话同时打入均能接通，其概率4327.035.013.01p故所求概率41431p；……………………4分②“损害度”.51245)43()41(2335Cp………………8分（2）∵在一天的这一时间内同时电话打入数ξ的数学期望为0×0.13+1×0.35+2×0.27+3×0.14+4×0.85+5×0.02+6×0.01=1.79∴一周五个工作日的这一时间电话打入数ξ的数学期望等于5×1.79=8.95.……13分19．（1）连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K.∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直.FK⊥BB1∴FK⊥B1D1FK⊥平面BDD1B1，B1D1∩BB1=B1又AE⊥BB1又AE⊥BDAE⊥平面BDD1B1因此KF∥AE.BB1∩BD=B∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角，连结BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK，从而△BKF为Rt△.在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中，由11111DBDAFBFK得：.21)332(21332212311111BDABADDBFBDAFK又BF=2..42cosBFFKBFK∴异面直线BF与AE所成的角为arccos42.……………………4分（2）由于DA⊥平面AA1B由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BG⊥DG.∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角.且∠DAG=90°在平面AA1B1B中，延长BF与AA1交于点S.∵F为A1B1的中点，A1F21AB，∴A1、F分别是SA、SB的中点.即SA=2A1A=2=AB.∴Rt△BAS为等腰直角三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即F、G重合.易得AG=AF=21SB=2，在Rt△BAS中，AD=332∴tan∠AGD=.36arctan.362332AGDAGAD即平面BDF与平面AA1B1B所成二面角（锐角）的大小为arctan36.…………9分（3）由（2）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B1B所成二面角的平面角所在的平面.∴面AFD⊥面BDF.在Rt△ADF中，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离.∥＝由AH·DF=AD·AF，得.552)2()332(23322DFAFADAH所以点A到平面BDF的距离为.552……………………13分20．解：（1）∵点*))(,(NnbnBnn都在斜率为6的同一条直线上，,6,6)1(11nnnnbbnnbb即于是数列}{nb是等差数列，故).1(61nbbn……………………3分nnnnnnnnnnnCBAAbCBaaAA与又111),,1(),,1(共线，分时当分即7).2)(1(3)1()()()(,25.,0))(1()(1111321112312111nnnbabbbbaaaaaaaaanbaaaabnnnnnnnnnn当n=1时，上式也成立.所以).2)(1(3)1(11nnnbaan………………8分（2）把abaa11,代入上式，得.26)9(3)2)(1(3)1(2anannnnaaan46927,1512aa，∴当n=4时，na取最小值，最小值为.2184aa………………13分21．解：))((323)(2122xxxxaaxbaxxf2121210,0,3,32xxaaxxabxx得由,2,2||||1221xxxx……………………3分（1）032221attxx是方程和的两个实根，∵方程有解，.30,0344aa得………………7分（2）由43434:,44)(221221aabxxxx得，.0,0,0,3,12,2.]3,2[,0,32;]2,0(,0,2030.200,189.93)3(32232babababbabbaaaabaabaaaab时时取最大值上单调递减在时上单调递增在时或得由.120b……………………12分法二：.12012)3322(12)3(332baaaaab22．（1）设点T的坐标为),(yx，点M的坐标为),(yx