高三数学不等式练习题

不等式（山东省郓城第一中学274700）张钟谊不等式是中学数学的重点内容，是学习数学其它各部分知识所必不可少的工具，也是历年高考考查的重点内容。复习提要因为不等式的性质、不等式的证明、不等式的解法、含有绝对值的不等式是高考考试内容，因此必须：（1）掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不要求四个和四个以上）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这两个定理。并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题；（2）在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法的基础上，初步掌握其他的一些简单的不等式的解法；（3）会用不等式||||||||||bababa例题及评注例1（1996年上海高考题）如果loglogab330，那么ab，间的关系是（）（A）01ab（B）1ab（C）01ba（D）1ba解：分别在同一坐标系中作yxyxalog,lg的图像（如图1）便知应选（B）。yxy3logxylgO1x图1评注：利用特例分析法，并熟练掌握对数函数图像性质是确保解决对数问题的基本保证。例2不等式()133282xx的解集为__________。（1995年全国高考题）解：原不等式等价于33282xx，由指数函数yx3在R上单调递增可知：xxx28224。所以原不等式的解集为{|}xx24。评注：指数函数性质的纯熟运用是解本题的关键。例3解不等式251xx（1985年全国高考题）解法1：原不等式等价：()()1250102512xxxx或()225010xx解（1）、（2）得原不等式的解集为{|}xx522解法2：设Ixxxx{|}{|}25052且}152|{xxxA，则Axxxxxxxxx{|}(){|}2512501025122从而解得Axx{|}522。评注：对于无理不等式的解法一般采用等价转化为不等式组来处理，注意分类讨论，同时还应采用正难则反的策略求解。例4已知fxaxbxcabcR()()2，，，对于||x1的x的值都有|()|fx1成立，则对这些x的值都有||24axb。证明：令gxaxbxxx(),()()2121222gxaxaxb()axaxaxbaxaxbxcaxbxcaxfxfx()()[()()][()()]()()12121212121212122222||,,|()|,|()|,(),()|()|||,|()|,|()||()()||()()|||xxxfxfxfabcfabcfcffaffcffc101211120121121110111111121122又，且，｜｜|()||()()||||||()||()|gxaxfxfxaxfxfx121212122114评注：本例论证突破的关键有两处：一是对x的恒等变形；二是对2axb的恒等变形。在此基础上运用条件及绝对值不等式性质达到证明的目的。近年高考题中的高档题都考查到这些思想方法的运用。例5已知abc，问是否存在正整数k，使不等式11abbckac恒成立？如果存在，求出所有k值；如果不存在，试说明理由。解：abc，原不等式等价于kacabacbc，此式恒成立的充要条件是kacabacbc()minacabacbcbcababbcbcababbc2224，当且仅当bcababbc，即当abc，，依次成（递减）等差数列时，上式取“=”号。k4，而且kN，故存在正整数k1234，，，，使原不等式恒成立。评注：这道探索问题较难求解，但适当拆分因式，用基本不等式求解，不但解法新颖，而且过程也简捷。例6过曲线yxxfxnn22上一点，(())的直线xlxln与且的斜率为2轴交于点()xn10，，其中xnN12，。（1）用xxnn表示1；（2）证明xxnn12122()；（3）若xan恒成立，求实数a的取值范围。解：（1）点Axxnn()，22，直线l方程为yxxxxnnn()()222，令y0可解得nnnnnxxxxxx22,22212即（2）由xxxxnxnnnn112122220,(),又得欲证xxnn12122()，只需证xxxnnn2222122()，即xxxxnnnn222222，只需证xn2。可用数学归纳法证明xn2。（3）xxxxxxxnnnnnnn1212122xxxxxxxxxxnnnnnnnnn022022111,,{}{}max，即是递减数列，且要使xan恒成立，只需axn{}max2。a2评注：这是一道不等式、数列、函数的综合问题，它以二次曲线为背景，以直线方程为基础，建立数列{}xn的递推关系式，进而证明不等式，并通过证明数列{}xn是递减数列完成解不等式。诊断检测（一）选择题1.若acbdab且，则0（）()()()()AcdBcdCcdDcd0、的大小不能确定2.已知abRababababab、，则，，，22222中最大的为（）()()()()AabBabCabDabab222223.设xy0，则下列各式中正确的是（）()()()()AxxyxyyByxyxyxCxxyyxyDyxyxyx22224.与不等式xx320解集相同的不等式（）()()()()lg()()()()()AxxBxCxxDxx320202303205.已知abc、、都是不等于1的正数，则logloglogabcbca的最小值是（）（A）3（B）-3（C）0（D）不存在（二）填空题6.设xyyxyxy110，，则，，，从小到大排列是_______________。7.使不等式abababab2211022，，，lg()都成立的ab与的关系式为________________。8.不等式()xxx43402的解集为___________。9.不等式||||xx113的解集为______________。10.若函数fxxax()21能取得负值，则实数a的取值范围是____________。（三）解答题11.已知abcRabcabbcac，，，且求证11。12.定义在（-2，2）上的奇函数fx()是减函数，且fafa()()1102，求实数a的取值范围。13.已知xyRxyuxy、且，求141的最小值。14.设fxaxbxfff()()()()21122142，且，，求的最值。答案与提示：（一）1.D2.C3.A4.B5.D（二）6.yyxyx，，，7.abb10且8.{|}xxx41或9.()()，，323210.aa22或（三）11.略证：（逆向运用公式）由222cbbccaacbaabRcba，，，有、、,三式相加并注意abc1，则abbcacabc221()。12.略解：首先考虑定义域有：212212032aaa解得由，得fafafafa()()()()1101122，因为fx()(,)在11上为减函数，所以11212aaa，即。取两个范围的交集得01a。注意：求解不等式问题切勿忽视函数的定义域。13.略解：uxyxyxyyx()()1154549，当且仅当4xyyx即xy36，时等号成立，所以u的最小值为9。注意：若另解为：1144428xyxyxyuxyxy，，u最小值为8。这种解法是错误的，因为两次运用均值不等式，但取等号条件分别为14xy和xy，而这两式不能同时成立。14.略解：设fff()()()211，即42ababab()()，比较此式两边ab，的系数，得4231,,,，依题意，得3316f()，)2(10)2(510)1()1(354)1(2fffff，所以，即，两式相加得的最小值是5，最大值是10。注意：有时变形是不可逆的，本题忽视这一点，易出错。思想与方法结合下面实例，挖掘解决不等式问题的思路与方法。例7（1985年上海市高考题）对于一切大于1的自然数n，证明：()()()1131151121212nn。证法1：（1）当n2时，左边169，右边54，左边右边，不等式成立。（2）假设nk时不等式成立，即()()()1131151121212kk，两边乘以时，不等式成立。，即，得1232122384484232]232121[232121)1211(212)1211)(1211()511)(311()1211(22knkkkkkkkkkkkkkkkkkk根据（1）、（2）对于大于1的自然数n，原不等式成立。证法2：设Annn()()()1131151121436587221，，，，，nnnn212122897867564534nnnnnnA212122897867564534)122()78()56()34(22222AnnAnnn22132142121131151121212故()()()说明：证明不等式，常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法和反证法。本题注意了根据欲证不等式的特点灵活选择，并恰当地“放缩代换”，这是证不等式不可忽视的两点。例8解不等式322101loglog()aaxxa解法1：（转化为等价不等式组）原式等价于32013221221032log()log(log)()log()aaaaxxxx解（1）得log()loglog()logaaaaxxxx232431312，由得或，由得，233411loglogaaxxa或，故时，解集为10),,(),(4332aaaa时，解集为［，，aaa34230)()。解法2：（整体换元）令yxxyyyyyxyxxxaaaaaa32132023100321232123341122loglog(),loglogloglog，则或或。下同解法。解法3：（通过局部换元后，用数形结合或讨论法求解）令12)32(23122332log21tyttytttxta，，设且，则()t12，yy12341211与图像略交点为()(,),(,)，由图像观察可得：txtxaaloglog()12334，或下略。说明：熟练掌握代数（有理、无理）及超越（指数、对数、三角）不等式的解法是高考中档试题的一个较为稳定的命题重点和热点，化高次为低次，化无理为有理，化多元为一元，化超越为代数，以及等价转化，分类讨论，数形结合，换元法等数学思想方法在本题多种解法中均有体现。例9二次函数fxaxbxc()2的系数都是整数且fx()0，在（0，1）内有两个不等的根，求最小的正整数a。解：令fx()0的两根为、，且、，1，于是fxaxx(