高三数学第二学期导师制(03)

高三数学第二学期导师制（03）班级姓名学号得分一、填空题：1．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了人.2．若5)2(x的展开式第二项的值大于1000，则实数x的取值范围为。3．下列判断错误的个数为。（1）．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆否命题。（2）．“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件。（3）．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假。（4）．命题“}2,1{4}2,1{或”为真（其中为空集）。4．)451()21)(11(tgtgtg的值为.5．抛物线22ypx与直线40axy交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）。设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于。6．正方形ABCD中，E、分别是AB、CD的中点，沿EF将正方形折成60°的二面角，则异面直线BF与DE所成角余弦值是_____。7．设函数0,10,00,1)(xxxxf，则方程)()12(1xfxx的解为.8．把120个相同的小球紧密地垒成一个正三棱锥，那么最低一层有个小球.9．．函数)0()(xtgxf的图象的相邻两支截直线8y所得线段长为)8(,8f则的值是。10．设),()(是定义在xf上的奇函数，且在区间（0，）上单调递增，若0)21(f，三角形的内角满足0)(cosAf，则A的取值范围是。11．函数xxxxycossincossin取最大值时x的值为。12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（-2，4）重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为。二、选择题13.若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的常数，则其前n项和Sn中也为确定的常数的是（）A．S17B．S15C．S8D．S714．某商场开展促销奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4。参加抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组。如果顾客抽出的方个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（）（A）142（B）130（C）435（D）54215．方程0)1lg(122yxx所表示的曲线图形是（）（16题图）15．16．上图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（）A．0221yxyB．0221yxyC．02210yxyxD．02210yxyx三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（Ⅰ）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解：18.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，2ADa，M、N分别是AD、PB的中点。（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。解：20．设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，21）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：20.已知椭圆2221(1)xyaa，直线l过点A（-a,0）和点B（a,ta）（t0）交椭圆于M。直线MO交椭圆于N。（Ⅰ）用a,t表示AMN的面积S；（Ⅱ）若[1,2]t，a为定值，求S的最大值。解:高三数学第二学期导师制（03）解答一、填空题：1．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了185人.2．若5)2(x的展开式第二项的值大于1000，则实数x的取值范围为x＞10。3．下列判断错误的个数为1。（1）．命题“若q则p”与命题“若p则q”互为逆否命题。（2）．“am2＜bm2”是“a＜b”的充要条件。（3）．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假。（4）．命题“}2,1{4}2,1{或”为真（其中为空集）。4．)451()21)(11(tgtgtg的值为223.5．抛物线22ypx与直线40axy交于两点A、B，其中点A的坐标是（1，2）。设抛物线的焦点为F，则|FA|+|FB|等于7。6．正方形ABCD中，E、分别是AB、CD的中点，沿EF将正方形折成60°的二面角，则异面直线BF与DE所成角余弦值是___107___。7．设函数0,10,00,1)(xxxxf，则方程)()12(1xfxx的解为x=0，2或－4171.8．把120个相同的小球紧密地垒成一个正三棱锥，那么最低一层有36个小球.9．．函数)0()(xtgxf的图象的相邻两支截直线8y所得线段长为)8(,8f则的值是0。10．设),()(是定义在xf上的奇函数，且在区间（0，）上单调递增，若0)21(f，三角形的内角满足0)(cosAf，则A的取值范围是),32()2,3(。11．函数xxxxycossincossin取最大值时x的值为42k。12．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（-2，4）重合，若点（7，3）与点（m,n）重合，则m+n的值为10。二、选择题13.若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的常数，则其前n项和Sn中也为确定的常数的是（B）A．S17B．S15C．S8D．S714．方程0)1lg(122yxx所表示的曲线图形是（D）15．某商场开展促销奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4。参加抽奖的每位顾客从0，1…，9这十个号码中抽出六个组成一组。如果顾客抽出的方个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率为（D）（A）142（B）130（C）435（D）54216．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（C）A．0221yxyB．0221yxyC．02210yxyxD．02210yxyx三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（Ⅰ）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.解：（Ⅰ）23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin21)(xxxxxxf…3分由)332sin(x=0即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk213…………6分（Ⅱ）由已知b2=ac231)332sin(31)332sin(3sin|295||23|9533239301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax分即)(xf的值域为]231,3(综上所述，]3,0(x)(xf值域为]231,3(…………12分18.已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=a，2ADa，M、N分别是AD、PB的中点。（Ⅰ）求证：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求点A到平面MNC的距离。解：（I）连PM、MB∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥MD…1分222222222323aAMABBMaMDPDPM又∴PM=BM又PN=NB∴MN⊥PB………3分,22,BCaPCaBCaDCPD得NC⊥PB∴PB⊥平面MNC……5分PB平面PBC∴平面MNC⊥平面PBC……6分（II）取BC中点E，连AE，则AE//MC∴AE//平面MNC，A点与E点到平面MNC的距离相等…7分取NC中点F，连EF，则EF平行且等于21BN∵BN⊥平面MNC∴EF⊥平面MNC，EF长为E点到平面MNC的距离……9分∵PD⊥平面ABCD，BC⊥DC∴BC⊥PC.24121,222aPBBNEFaPCBCPB即点A到平面MNC的距离为2a……12分20．设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，21）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（I）由已知a2－a1=－2,a3－a2=－1,－1－(－2)=1∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3n≥2时，an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a3－a2)+(a2－a1)+a1=(n－4)+(n－5)+…+(－1)+(－2)+6=21872nnn=1也合适.∴an=21872nn(n∈N*)……………………3分又b1－2=4、b2－2=2.而2142∴bn－2=（b1－2）·(21)n－1即bn=2+8·(21)n…6分∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an=21872nn，bn=2+(21)n－3（II）设kkkkkkkbakf)21(887)27(21)21(872721)(22当k≥4时87)27(212k为k的增函数，－8·(21)k也为k的增函数，而f(4)=21∴当k≥4时ak－bk≥21………………10分又f(1)=f(2)=f(3)=0∴不存在k，使f(k)∈（0，21）…………12分20.已知椭圆2221(1)xyaa，直线l过点A（-a,0）和点B（a,ta）（t0）交椭圆于M。直线MO交椭圆于N。（Ⅰ）用a,t表示AMN的面积S；（Ⅱ）若[1,2]t，a为定值，求S的最大值。解:（I）易得l的方程为)(2axty…1分由1)(2222yaxaxty，得（a2t2+4）y2－4aty=0…2分解得y=0或4422taaty即点M的纵坐标4422taatyM…………4分S=S△AMN=2S△AOM=|OA|·yM=22244tata…7分（2）由（1）得，)0(444422222ttatatataS令,42tatV…………9分若1≤a≤2，则)2,1[2a，故当at2时，Smax=a…11分若a＞2，则tatVa24.120在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数.∴当t=1时,22max44aaS综上可得)2(44)21(22maxaaaaaS…………14分