高三数学立体几何学科素质训练

ABCDEFGHIJ2006－2007学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学第一轮复习单元测试（8）—《立体几何》一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,ll与同一平面所成的角相等,则12,ll互相平行.④若直线12,ll是异面直线,则与12,ll都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是（）A．1B．2C．3D．42．将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角，点C到达点C1，这时异面直线AD与BC1所成角的余弦值是（）A．22B．21C．43D．433．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角线的长为（）A．23B．32C．6D．64．已知二面角α－l－β的大小为600,m、n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m、n所成的角为（）A．300B．600C．900D．12005．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点.将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°6．两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个7．正方体A′B′C′D′—ABCD的棱长为a，EF在AB上滑动，且|EF|=b（b＜a＝，Q点在D′C′上滑动，则四面体A′—EFQ的体积为（）A．与E、F位置有关B．与Q位置有关C．与E、F、Q位置都有关D．与E、F、Q位置均无关，是定值8．（理）高为5，底面边长为43的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（）A．23B．2C．223D．2（文）三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P到这三个平面的距离分别是（）A．1，2，3B．2，4，6C．1，4，6D．3，6，99．如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1S2B．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定10．已知球o的半径是1,ABC三点都在球面上,AB两点和AC两点的球面距离都是4p,BC两点的球面距离是3p,则二面角B－OA－C的大小是（）A．4pB．3pC．2pD．23p11．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．已知棱锥的顶点为P，P在底面上的射影为O，PO=a，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO于点M，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b，则a与b的关系是（）A．b=（2－1）aB．b=（2+1）aDBAOCEFABCDA1B1C1D1第16题图A1C．b=222aD．b=222a二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________.14．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos=______．15．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为___________.16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：（）①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号．．）三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）在长方体1111DCBAABCD中，已知3,41DDDCDA，求异面直线BA1与CB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18．（本小题满分12分）如图，1l、2l是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在1l上，C在2l上，AMMBMN.（1）证明AB⊥NB；（2）若60OACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，p是侧棱1CC上的一点，mCP.（1）试确定m，使得直线AP与平面11BBDD所成角的正切值为23；（2）在线段11CA上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，QD1在平面1APD上的射影垂直于AP.并证明你的结论.20．（本小题满分12分）（理）如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a，BC=b，PA=c.（1）建立适当的空间直角坐标系，写出A、B、M、N点的坐标，并证明MN⊥AB；（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为θ，当θ为何值时（与a、b、c无关），MN是直线AB和PC的公垂线段.（文）正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.（1）求证：PB⊥平面MNB1；（2）设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值.PABCDMN21．（本小题满分12分）已知正方形ABCD.E、F分别是AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示,记二面角ADEC的大小为(0).（1）证明//BF平面ADE;（2）若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,证明你的结论,并求角的余弦值.AACBDEFBCDEF22．（本小题满分14分）如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.（1）求证:MN∥面ADD1A1;（2）求二面角P─AE─D的大小;（3）求三棱锥P─DEN的体积.参考答案（8）1.D．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D.2.D．由题意易知∠ABC1是AD与BC1所成的角，解△ABC1，得余弦为43.答案：D．3.D．设长宽高为a、b、c，则312632222cbaacbcabl=6，答案：D．4.B.作图可知满足条件的m、n所成的角1200为故应选B.5.B．平面图形折叠后为正三棱锥.如图，取EF的中点M，连结IM、MJ，则MJ21FD，GH21FD，∴MJ∥GH，∠IJM为异面直线GH与JI所成的角.DMHIJEG()A,B,CF由已知条件易证△MJI为正三角形.∴∠IJM=60°.答案：B．6.D．法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为12，考查放入正方体后，面ABCD所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12，所以该几何体的体积取值范围是11,637.D．VA′－EFQ=VQ－A′EF.8.（理）B．过球心作平行于底的截面，R=23tan30°=2.AADBCBCDEFQ''''R23（文）B．9.C．连OA、OB、OC、OD则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C10.如图,由题可知∠AOB=∠AOC=4p,而∠BOC=3p,因为OA=OB=OC=1,所以BC=1,且分别过BC作OA的垂线,垂足为同一点M,于是∠BMC为二面角B－OA－C的平面角,所以BM=CM=22,从而∠BMC=2p,应选C.11.B．乙甲，但甲乙，例如四棱锥S—ABCD的底面ABCD为菱形，但它不是正四棱锥.12.C．由平行锥体底面的截面性质，知POPM=22，∴POOM=222.∴ab=222.∴b=222a.答案：C．13.3．底面正方形面积12)62(212S，底面边长aS，高SVh3，二面角的余切值2/tanah.代入数据，得：3121212662//3tanSSVSSV.又必为锐角，所以3.14.63．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故26cos33.15.27．274233332RSRdABCDA1B1C1D1第16题图A1ABCDS16.①③④⑤．如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为52，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为32，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为72，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以填①③④⑤．17.法一：连接DA1，DBACBDA111,//为异面直线BA1与CB1所成的角.连接BD，在△DBA1中，24,511BDDABA，则DABABDDABADBA112212112cos259552322525.异面直线BA1与CB1所成角的大小为259arccos.法二：以D为坐标原点，分别以DA、DC、1DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.则)0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11CBBA、、、，得)3,0,4(),3,4,0(11CBBA.设BA1与CB1的夹角为，则259cos1111CBBACBBA，BA1与CB1的夹角大小为259arccos，即异面直线BA1与CB1所成角的大小为259arccos.18.（１）AM=MB=MN，说明NM是△ANB的中线且为边AB的一半，所以△ANB是直角三角形，其中ANB为直角。所以BNNA。①12ll且MN2l2l面ABN2lBN。②由①、②可推出BN面NAC。所以ACBN。（２）MNAB且M为AB中点AN=MN③由（１）知，AN、BN、CN两两垂直④由③、④AC=BC，又ACB=60，所以△ABC是等边三角形。设BN长度为1，则AB=2，233242ABCS三棱锥CABN的体积为：61；三棱锥NABC的体积为：hSABC31由CABNAABCVV可得点N到面ABC的距离33h记NB与平面ABC所成角为，则33sinNBh。从而36cos实际上，这个题的命题背景是NABC是正方体的一个“角”。如图3.19.法一：（１）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面11BDDB相交于点，,连结OG，因为PC∥平面11BDDB，平面11BDDB∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝21PC＝2m.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面11BDDB，故∠AGO是AP与平面11BDDB所成的角.在Rt△AOG中，tanAGO＝23222mGOOA，即m＝31.所以，当m＝31时，直线AP与平面11BDDB所成的角的正切值为32.图3MBNCAOD1C1CDABA1B1PG（２）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A